向量與矩陣的范數(shù)ppt課件-資料下載頁
2025-01-12 10:26本頁面
【正文】 ???定義： 設(shè) ，如果 個常數(shù)項級數(shù) 都收斂， 則稱矩陣級數(shù) 收斂。如果 個個常數(shù)項級數(shù) mn()1, 1 , 2 , , 。 1 , 2 , ,kijka i m j n?????( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??mn()1, 1 , 2 , , 。 1 , 2 , ,kijka i m j n?????都絕對收斂， 則稱矩陣級數(shù) 絕對收斂。 例 ： 如果設(shè) ，其中 ()( ) 2 2kkijA a C???????( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??( ) ( )1 1 1 2 31 1 1 1( ) ( )2 1 2 21 1 1 111,( 1 ), sin22kkk k k kkkkkk k k kaak k kaa??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ?? ? ? ?那么矩陣級數(shù) 是收斂的。 ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??()() [] kk m nijA a C???定理： 設(shè) ，則矩陣級數(shù) 絕對收斂的充分必要條件是正項級數(shù) 收斂，其中 為任意一種矩陣范數(shù)。 證明： 取矩陣范數(shù) ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??A()()11mnkkijijAa??? ??那么對每一對 都有 因此如果 收斂，則對每一對 常數(shù)項級數(shù) ,ij()() kkijAa?( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??,ij( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kki j i j i j i jka a a a??? ? ? ? ??都是收斂的，于是矩陣級數(shù) 絕對收斂。 反之，若矩陣級數(shù) 絕對收斂，則對每一對 都有 ( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??( ) ( 1 ) ( 2 ) ( )1kkkA A A A??? ? ? ? ??,ij( ) (1) ( 2 ) ( )1kki j i j i j i jka a a a??? ? ? ? ????于是 根據(jù)范數(shù)等價性定理知結(jié)論對任何一種范數(shù)都正確。 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1m n m nkkk i j i jk k i j i j kA a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?定義： 設(shè) ，稱形如 的矩陣級數(shù)為矩陣冪級數(shù)。 () mnijA a C ???2 ( )0 1 20kkkkkc A c I c A c A c A??? ? ? ? ? ??定理： 設(shè)冪級數(shù) 的收斂半徑為 為 階方陣。若 ，則矩陣冪級數(shù) 絕對收斂；若 ，則 發(fā)散。 0kkkcx??? ,RAn ()AR? ?0kkkcA??? ()AR? ?0kkkcA???證明： 設(shè) 的 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為 其中 于是 A1 1 2 2diag ( ( ) , ( ) , , ( ) )rrJ J J J? ? ??1( ) ( 1 , 2 , , )1iiiiiii ddJ i r???????????????????11 1 2 2di a g ( ( ) , ( ) , , ( ) )k k k krrA P J J J P? ? ???111111()iiiid k dkki k i k ikk iii kkiki ddccJc? ? ?????? ? ???????????????所以 100101 1 2 20010()= ( )= dia g ( ( ) , ( ) , ( ) )kkkkkkkkkkkkkKKkk r rKc A c PJ PP c J PP c J c Jc J P?????????????????????????其中 11110 0 000 1100()iiiid k dkkk i k k i k k ik k kkkikkk i ik kk k ikkkikddc c c c cccJccc? ? ?????? ? ?? ? ??? ? ?????? ??????????????????????? ? ?????( 1 ) ( 1 )()!0 ( )lklkk k k lc l klc l k? ? ?????當(dāng)當(dāng)當(dāng) 時，冪級數(shù) 都是絕對收斂的，故矩陣冪級數(shù) 絕對收斂。 ()AR? ?1100110,iikkk i k k ikkd k dk k ikc c ccc?????????? ? ?????0kkkcA???()AR? ?當(dāng) 時，冪級數(shù) 發(fā)散，所以 發(fā)散。 定理： 矩陣冪級數(shù) 絕對收斂的充分必要條件是 。且其和為 。 0kkikc ????0kkkcA???2 kI A A A? ? ? ? ?( ) 1A? ?1()IA ??例 1 ： （ 1）求下面級數(shù)的收斂半徑 （ 2）設(shè) 判斷矩陣冪級數(shù) 的斂散性。 解： 設(shè)此級數(shù)的收斂半徑為 ，利用公式 23231 2 2 1 2 2 2 3 2kkkkkx x x x x??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??1413A??? ??????R1 2kkkAk?? ??容易求得此級數(shù)的收斂半徑為 2。而 。所以由上面的定理可知矩陣冪級數(shù) 絕對收斂。 1 1lim kkkaaR????( ) 1A? ?23231 2 2 1 2 2 2 3 2kkkkkA A A A A??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??
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