第三章矩陣和向量的應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-10-02 12:53本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】則稱集合V為n維向量空間,簡(jiǎn)稱為向量空間。V，則稱W是V的子空間。中向量均可由Vii)(線性表示?；兴蛄總€(gè)數(shù)r稱為向量空間的維數(shù)。rkkk，，，則稱系數(shù)?,因此,向量在不同基下的坐標(biāo)也不一樣。詳見(jiàn)參考書(shū)第59頁(yè)。一般有兩種求法：待定系數(shù)法與矩陣方程法。稱為齊次線性方程組。性質(zhì)1：齊次方程組的兩個(gè)解的和仍是方程組的解。這稱為方程組的通解。上角的r階子式不為零。
【正文】 ??????321321 ),( ???????????????????????????????321321 ,345210123111),(xxxXA ???是否有解的問(wèn)題。組線性表示轉(zhuǎn)化為方程，能用取何值時(shí)??????AXba 321, （詳見(jiàn)參考書(shū)第 82頁(yè)。） 向量組的正交性 一、向量的內(nèi)積： 1：設(shè)有向量 ),(2,1 naaa ??? ),( 2,1 nbbb ???）。，的內(nèi)積，記為（與稱為向量 ????nn bababa ???? ?2211），（ ??nn bababa ??? ?2211Ti ???? ?），（)( ))( ???? ，（），（ ?ii）（，）（ ?????? kkkiii ,)(,)( ??）（，）（ ??????? ,)(,)( ???iv），（ ??)( v 222221 ?????? naaa ? 111 ?? ????為單位向量。??1二、向量的夾角：自學(xué)。 三、向量的正交性： 2. 正交。與則稱向量），若（ ???? ,0? 3. 即滿足兩兩正交，維非零向量個(gè)如果 mnm ??? , 21 ?)(,0 jiji ??），（ ??簡(jiǎn)稱為正交組。為正交向量組 , 21 m??? ?).1,0,0(,),0,1,0(),0,0,1( 21 ???? ??? neee為正交向量組。 也稱為單位正交組或標(biāo)準(zhǔn)正交組。 線性無(wú)關(guān)。則為正交向量組設(shè) mm ?????? ,, 2121 ??定理 : 回憶 :如何證明一組向量線性無(wú)關(guān) ? 則稱向 量組證 : Okkk mm ???? ??? ?2211設(shè)0),(),( 2211 ?????? Okkk immi ????? ?0),(),(),( 2211 ????? mimii kkk ?????? ?則為正交向量組 , 21 m??? ?? )(,0 jiji ??），（ ??0),( ?? iiik ??00),(, ???? iiii kO ??? 即由于 ( i =1,2,,m ) 為線性無(wú)關(guān)向量組。m??? , 21 ??問(wèn)題 :線性無(wú)關(guān)的向量組是否為正交組 ? 不是 ! )1,0,0(),1,0,1( 21 ?? ??反例：四、向量組的正交規(guī)范化： 為線性無(wú)關(guān)向量組，令公式：設(shè) m??? , 21 ?1111222 ???????），（），（??11 ?? ?222231111333 ????????????），（），（），（），（ ???111122221111 ????????? mmmmmmmmm ?????????????????），（），（），（），（），（），（ ?????等價(jià)；與 mmi ?????? ,,)( 2121 ??為正交組。mii ??? ,)( 21 ?正交向量組。為單位化，即得到單位再將 m??? , 21 ?五、正交矩陣： 4： 階正交矩陣。為，則稱滿足階方陣若 nAEAAAn T ?： .1)( ??? AnAi 階正交矩陣為若也是正交矩陣。與階正交矩陣為若 1)( ?? AAnAii T也是正交矩陣。與階正交矩陣為若 BAABnBAiii ?,)( : ? ?組。向量組為單位正交向量的行（列）為正交矩陣定理：矩陣 AaA nnij ?? ?僅證列向量組的情形。),( 21 nA ??? ?? EAAA T ??為正交矩陣? ?nTnTTTAA ????????2121???????????????????????????????100010001???????E)(0),(,1),(jijiii???? ????為單位正交向量組。即 n??? , 21 ?方法一、用定理。 方法二、用定義。 正交嗎？AA ,9/79/49/49/49/19/89/49/89/1????????????????????????????????nTnTnTnnTTTnTTT?????????????????????????212221212111正交 ?,9/79/49/49/49/19/89/49/89/11 ?????????????????? ?AA TA?,7444184811 ?????????????????? ?AATT ABBAB9191 1 ???? ?TABAAB811919 1111 ????? ????正交嗎？AA ,744418481?????????????????不正交
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