向量與矩陣的定義及運(yùn)算-全文預(yù)覽
【正文】 ?22( ) 2 2 1 1 2 2 ,1A P Q P Q A????? ? ? ???????? ?1 1 12 2 2 42 2 2 1 1 2 2 2 2 4 .1 1 1 2k k k kAA? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?52 12 1 2 33000 0 , , ,001.5aA a a a aaAB???????????： 設(shè) 矩 陣 互 不 相 同 ，求 與 矩 陣 可 交 換 的 矩 陣?yán)?3 ????????????????????????????????????????????321333231232221131211333231232221131211321000000000000aaabbbbbbbbbbbbbbbbbbaaaBAAB，有解：根據(jù)可交換的定義54 ?????????????????????????????????????????????332211332211111111323123211331311312212112333232131323222121313212111333332331223222221113112111000000bbbBbbbababbbbbbababbabababababababababababababababababababab所以，可以任意數(shù)。43 ( ) 0, , 1 , 2, , ,1 2 30 1 20 0 5ij n ijA a a i ji j n A? ? ????????????L： 如 果 的 元 素則 稱 為 上 三 角 形 矩 陣 ， 簡 稱 為上 三 角 矩 陣 。當(dāng) 同 階 方 陣 不 可 交 換 時(shí) ，乘 冪注 意般可 交 換一39 一些特殊矩陣的乘法 12( ) 0,( , 1 , 2, )000000ij n ijnA a a i ji j n Aaaa? ? ??????????????LLLM M M ML對(duì) 角 陣對(duì) 角 形： 若 方 陣 的 元 素， 則 稱 為 ， 簡 稱為 。 其 中 表 示主 對(duì) 角 線 上 的 元 素 為 ， 其 余 元 素 為 零 的 階 方 陣 ，稱 為 階 單 位 矩 陣 。: ( ) 。解32 1 1 2 2 1 0, , ,1 1 2 2 1 00 0 4 4 0 0, , .0 0 4 4 0 08 A B CAB BA AC??? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?則例 設(shè)( 1 ) ,( 2 )( 3 )AB AC B CAB BA???仔 細(xì) 觀 察 ， 我 們 發(fā) 現(xiàn) ：， 但 因 此 矩 陣 乘 法 不 滿 足 消 去 律 ；， 因 此 矩 陣 乘 法 不 滿 足 交 換 律 ；兩 個(gè) 非 零 矩 陣 的 乘 積 可 以 為 零 。 用表 示 的 第 行 與 的 第 列 的 對(duì) 應(yīng) 分 量 乘 積 之 和 ，即稱 矩 陣 為 矩 陣 與 ， 記 為乘 積的定 義27 1 1 2 21212( , , , )( 1 , 2 , 。j j j j ij ijj j i jA a E a E a E a E a E a Ea E a E a E? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 3 1 3 2 3 2 32 2 2 3 21 1 2 2 3 31 1 1 1 1( ) ( ) ( ).i i i i i i ij iji i i j iA a E a E a E a E a E a Ea E a E a E a E? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?或24 三、 矩陣的乘法 : 1 2 1 2, 。( 8 ) ( ) 。0)()4(。 維 行 向 量 可 視 為 矩 陣 ， 維 列向 量 可 視 為 矩 陣方 陣。 我 們 主 要 用 到 的 是 實(shí) 數(shù) 域 和例 子復(fù) 數(shù) 域 。11 1212( , , , )( 1 , 0 , , 0 ) , ( 0 , 1 , , 0 ) , , ( 0 , , , )201nnn k k k?? ? ??? ? ?證 明 ： 任 意 維 向 量 是 向 量組 的一 個(gè) 線例性 組 合 。9 1 2 31 2 3( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 3 ) ,2 1 2 ,1 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 求例。( 8 ) ( ) 。)()。： 稱 向 量 為與 的 ， 記 作 ＋ ＝ 。并 稱 數(shù)維 行 向 量維 列 向?yàn)?的定量第 個(gè) 分 量義3 ( ) ,1 3 8 。 1 向量與矩陣的定義及運(yùn)算 1212( , ,1,)( 1 , 2, , ) .nninnina a aaaaa i n????????????????由 個(gè) 數(shù) 構(gòu) 成 的 有 序 數(shù) 組 ， 記 作＝稱 為 ； 若 記 作＝則 稱 為 。： ＝ （ ， ， ） ＝4 12121 1 2 21 1 2 212( , , , ) ,( , , , )( 1 ), 1 , 2, , ,( 2 ) ( , , , )( , , , )2( 3 ) ( , , , )(nniinnnnnn a a ab b ba b i na b a b a ba b a b a bk ka ka kak k k??? ? ? ?? ? ? ??????? ? ?? ? ??設(shè) 兩 個(gè) 維 向 量 ＝如 果 它 們 對(duì) 應(yīng) 的 分 量 分 別 相 等 ， 即則 稱定 義相 等加 法和向 量 與 ， 記 作 ＝ 。)()(。( 7 ) ( ) 。α 0 , 0 , α 0kkk? ? ?
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