向量與矩陣的定義及運(yùn)算(參考版)
2024-08-16 04:19本頁(yè)面
【正文】 55 比較： ?在數(shù)的乘法中，若 ab = 0 ? a = 0 或 b = 0 兩個(gè)非零矩陣乘積可能為 O。 一般地 , A的矩陣多項(xiàng)式之間可交換 . ,h ( x ) , g ( x )設(shè)多項(xiàng)式 ( ) , ( ) ( ) ( ) ,l x h ( x ) g ( x ) m x h x g x? ? ?( ) , ( ) ( ) ( ) .l A h ( A ) g ( A ) m A h A g A? ? ?則50 例 13設(shè) n階方陣 A滿足關(guān)系式 2 2 3 0 ,A A E? ? ?證明存在矩陣 B使得： ( 2 ) .A E B E??分析 能否找到 B為 A的某一個(gè)多項(xiàng)式矩陣，由于要利用必須利用到關(guān)系式 2 2 3 0 ,A A E? ? ?, a , bB a A b E??不 妨 假 設(shè) 其 中 參 數(shù) 應(yīng) 滿 足? ?( 2 ) ,A E a A b E E? ? ?2 ( 2 ) ( 2 1 ) 0 .a A b a A b E? ? ? ? ?即2 2 3 0 , a , bA A E? ? ?要 利 用 關(guān) 系 于 是 應(yīng) 滿 足2 2 1 1 4, , .1 2 3 5 5a b a b ab??? ? ? ? ? ?解 之 得51 例 14 ? ?22 1 1 2 , , .1kP Q A P Q A????? ? ? ???????設(shè) ， 求解 ? ?22( ) 2 2 1 1 2 2 ,1A P Q P Q A????? ? ? ???????? ?1 1 12 2 2 42 2 2 1 1 2 2 2 2 4 .1 1 1 2k k k kAA? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?52 12 1 2 33000 0 , , ,001.5aA a a a aaAB???????????： 設(shè) 矩 陣 互 不 相 同 ，求 與 矩 陣 可 交 換 的 矩 陣?yán)?3 ????????????????????????????????????????????321333231232221131211333231232221131211321000000000000aaabbbbbbbbbbbbbbbbbbaaaBAAB，有解：根據(jù)可交換的定義54 ?????????????????????????????????????????????332211332211111111323123211331311312212112333232131323222121313212111333332331223222221113112111000000bbbBbbbababbbbbbababbabababababababababababababababababababab所以，可以任意數(shù)。如 ：下 三 角 矩 陣44 ( ) , ( ) .i j n i j nA a B b C A B? ? ?設(shè) 為 上 三 角 矩 陣 ， 求11 1 1jn i nij ik kj ik kj ik kj ik kjk k k i k jjik kjkiijc a b a b a b a bab?? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ??： 當(dāng) 時(shí) ，解1 1 10 0 0jnnij ik k j ik k j ik k jk k k jijc a b a b a b? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?當(dāng) 時(shí) ，11 1 1n i ni i i k k i i k k i i i i i i k k i i i i ik k k iijc a b a b a b a b a b?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?當(dāng) 時(shí) ，45 1 2 00 1 2 , .001A A X?????????設(shè) 求 所 有 與 可 交 換 的 矩 陣?yán)?9解 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3,x x xX x x x A X X Ax x x??????????設(shè) 滿 足 于 是法一 直接用矩陣乘法和相等得到方程組，然后求解。43 ( ) 0, , 1 , 2, , ,1 2 30 1 20 0 5ij n ijA a a i ji j n A? ? ????????????L： 如 果 的 元 素則 稱 為 上 三 角 形 矩 陣 ， 簡(jiǎn) 稱 為上 三 角 矩 陣 。0,0ijnik kjkikkjnij ik kj ii ijk ii iic A i B ja b i j ni k ak j bijc a b a ba b i jC????????????? ?????L： 的 第 行 與 的 第 列 相 乘根 據(jù) 對(duì) 角 矩 陣 的 定 義 ： 當(dāng) 時(shí) ，當(dāng) 時(shí) ， 所 以＝所 以 ， 矩 陣 也 是解一 個(gè) 對(duì) 角 矩 陣 。當(dāng) 同 階 方 陣 不 可 交 換 時(shí) ，乘 冪注 意般可 交 換一39 一些特殊矩陣的乘法 12( ) 0,( , 1 , 2, )000000ij n ijnA a a i ji j n Aaaa? ? ??????????????LLLM M M ML對(duì) 角 陣對(duì) 角 形： 若 方 陣 的 元 素， 則 稱 為 ， 簡(jiǎn) 稱為 。 規(guī) 定 為 自 然 數(shù)指 數(shù) 律 為 非 負(fù) 整 數(shù)成 立 。 其 中 表 示主 對(duì) 角 線 上 的 元 素 為 ， 其 余 元 素 為 零 的 階 方 陣 ，稱 為 階 單 位 矩 陣 。( 5 ) , .q s s n q n s n n p s ps s n s n nk AB kA B A kB kA B C AB ACA B C AC BCAAE A A A E A? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ?????是 一 個(gè) 數(shù) ；左 分 配 律右 分 配 律37 311 0 00 1 0 (0 0 1)。: ( ) 。分 別 記 矩 陣 的 位 置 上 的 元 素 為的 位 置 上 的 元 素 為
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