可換矩陣的公共特征向量研究(文件)
【正文】 ? 0ijc? ? ?ij? ∴ 111 00 nncP B Pc????????. 證畢 . 引理 5 若 AB BA? ,則 ,AB可同時(shí)相似于上三角陣 ,即 ? 可逆陣 P 使得 11*0 nP A P?????????? , 11 *0 nP B P??????????. 8 證明 先證 ,AB至少有公共的特征向量 1 0?? .∴ 1 0 1A? ??? , 1 0 1B? ??? ， 將1? 擴(kuò)充為 nC 的一組基 1 1 1, n? ? ?? ， 取 ? ?1 1 1, nP ? ? ? ?? ， 則 11**0 * *0 * *P A P???????????= 11*0 A???????. 同理 111*0P BP ?? ??? ?????. ∵ AB BA? ，∴ ? ?nV C A? ? ? ??? ? ? 即 1 1 1 11 1 1 1**00A B B A? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1AB B A?? ? ?? ?? ?11, 1 1A B n n??均 為 矩 陣 用歸納法證 : 則 ? 可逆陣 Q 使得 211*0 nQ A Q?????????? , 211*0 nQ B Q?????????? 11111111*1 0 1 0 1 0 1 000 0 0 0*0P A P AQ Q Q A Q????????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????????? 11111111*1 0 1 0 1 0 1 000 0 0 0*0P B P BQ Q Q B Q????????? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????????? ∴取 100TPQ???????使得 ,AB可以同時(shí)相似于上三角陣 . 引理 6 若 A B AB?? ，則 AB BA? . 證明 ? ? ? ?A B B? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?AB?? ?? ? ?,∴ ? ?? ?BA?? ?? ? ?， 9 即 ? ?? ? ? ?? ?A B B A? ? ? ? ? ? ? ? ?，有 A B A B B A B A? ? ? ? ? ? ? ? ?. ∴ AB BA? . 結(jié)論 1 已知 A B AB?? ，則 ⑴ 1 不是 A 的特征值，也不是 B 的特征值； ⑵ 若 B 相似于對(duì)角陣，則 A 也相似于對(duì)角陣，且可同時(shí)相似于對(duì)角陣 . 證明 ⑴ ∵ 0, 0AB? ? ? ? ? ? ∴ 1 不是 ,AB的特征值 . 或 證：若 1 是 B 的特征值，設(shè) 1B??? ? ?0?? ， ∴ ? ?A B AB????，即 AA? ? ??? ， 于是有 0?? 矛盾 . 即證 . ⑵設(shè) 11 00 nP bP?????????? ? ?1i?? 由 A B AB?? ? 1 1 1 1P A P P B P P A P P B P? ? ? ?? ? ?.∴ ? ?1 1 1P A P P B P P B P? ? ?? ? ?. 即 111 1 0 00 1 0nnP A P??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?， ∴111111010 1 00 0 1 01n n nnP A P????? ? ??????????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ????. 證畢 . 注 ：若 1PAP? 與 1PBP? 都是對(duì)角陣，則 ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1P A P P B P P B P P A P? ? ? ?? 則 AB BA? .
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