淺談特征值和特征向量的解法與應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-07-21 21:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 向量的轉(zhuǎn)置就為矩陣A的屬于特征值Y的特征向量。定理3：設(shè)是階方陣，為待求特征值。若對矩陣施行一系列初等變換，可得到上三角矩陣令的主對角線上元素乘積為零，求得值即為矩陣A的特征值。定理4： 設(shè)齊次線性方程組AX=0，A是n階方陣，R=rn，且A==C若將C的對主角線上的元素0改寫維1，那么這些改寫成1的元素所在的列(改寫后的列)，即為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系。應(yīng)用例題例 1 求實數(shù)域上矩陣A=的特征值域特征向量。解：方法一[︱E]=～～=[D()｜P()]令D()的主對角線元素之積為零，即（+5）=0，特征值為=1，(二重).當(dāng)時，[D()｜P()]= R(D())=1于是對應(yīng)的特征向量為==， = .所以A的屬于全部的特征向量為，其中不全為零的常數(shù)；當(dāng)時[D｜P( )]= ～.R（D）=2,于是=5對應(yīng)的特征向量為== 。所以的屬于全部的特征向量為,其中不為零。方法二(A )=～由定理3，令得 ，令 得=1 ，=5 。所以A的特征值為= =1 ，=5. 當(dāng)= 時=～，由定理4得 ，所以的屬于==1全部特征向量為+ ,其中 ，不全為零；當(dāng)=5時，(5)=～,由定理4得=所以的屬于全部的特征向量為 ,其中不為零。本文所給的兩種方法利用初等變換求特征值，再觀察直接得出特征向量，可以說特征向量與特征值的求法是同步的，計算量較少。四 求抽象矩陣的特征值與特征向量。所謂的抽象矩陣，是指矩陣的元素沒有具體給出的矩陣。抽象矩陣的特征值與特征向量的求法：（1）根據(jù)滿足此關(guān)系式的與p分別是A的特征值與特征向量的求法；（2）滿足關(guān)系式的數(shù)即為A的特征值；（3）若滿足某個關(guān)系，其中 是度多項式，并不是充分條件，即多項式的所有根未必都是的特征值。例 1 設(shè)階矩陣有特征值。（1）證明和有相同的特征值；（2）求的特征值；（3）若A可逆，求 ， ，E的特征值。解： （1）因為即A與有相同的特征多項式從而A與有相同的特征值。（2）設(shè)p是A的屬于的特征向量，即Ap=p，p0，則，由此知，+2+1分別是 ，+2A+E的特征值，p仍是其對應(yīng)的特征向量。（3）若A可逆，則設(shè)是其對應(yīng)的特征向量，則 式兩端左乘以得從而得分別是 ， ,
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