畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應(yīng)用-免費(fèi)閱讀
【正文】 325??② 。 遞推關(guān)系A(chǔ)bstract This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue。 eigenvector。 ③ .???5E?解 ① 由性質(zhì) 1 可得.??12A??? ② 因 , 由性質(zhì) 3 可知 的特征值為??325???A? , , ．14???61?故.??241??A ③ 的特征多項(xiàng)式為 ??????12fEA?????令 , 得 5??，557f??故.??35172AEA????(2) 判斷方陣 及 例 8 設(shè),????????284013A問當(dāng) 為何值時(shí), ? 解 因,?? ??23104182fA?????????故 ，21???13??為 的三個(gè)特征值, 由性質(zhì) 4 可知, 當(dāng) 時(shí), 可逆．A2k??AkE(3) 求方陣 , 的逆陣 及 的 ?A例 9 設(shè)，021????????求① 。 稱為特征多項(xiàng)式, xA??fE?稱為特征方程． （見參考文獻(xiàn)[3] [10]）??0fE??? 特征值與特征向量的基本性質(zhì)性質(zhì) 1 設(shè) 為 階方陣, 為 的 個(gè)特征值, 則 ．An12,n?? AnA??21?性質(zhì) 2 方陣 可逆 的 個(gè)特征值都不為零．?性質(zhì) 3 設(shè) 為方陣 的特征值, 為 的多項(xiàng)式, 則 為 的特征???????值．性質(zhì) 4 不為方陣 的特征值 ．A0E???性質(zhì) 5 (凱萊—哈密頓定理) 設(shè) 階方陣 的特征多項(xiàng)式為 ，則 nA??AEf???．??11nnfaa???????性質(zhì) 6 設(shè) 階方陣 的 個(gè)特征值為 , 且 為對(duì)應(yīng)的 個(gè)線性nA2,?? 12,np?無(wú)關(guān)的特征向量, 記 , 則??12,nPp??.???????nA??21性質(zhì) 7 設(shè) 為 階實(shí)對(duì)稱陣, 是它的 個(gè)特征值, 則n(1) 當(dāng)且僅當(dāng) 都大于零時(shí), 正定；12n?? A(2) 當(dāng)且僅當(dāng) 都小于零時(shí), 負(fù)定； ,?(3) 當(dāng)且僅當(dāng) 都非負(fù), 但至少一個(gè)等于零時(shí), 是半正定；12n? A(4) 當(dāng)且僅當(dāng) 都非正, 但至少一個(gè)等于零時(shí), 是半負(fù)定；,??(5) 當(dāng)且僅當(dāng) 中既有正數(shù), 有又負(fù)數(shù)時(shí), 是不定的．12n? 性質(zhì)的應(yīng)用(1) 求方陣 的行列式 以及 的多項(xiàng)式 的行列式 ．AA??A???A例 7 已知三階矩陣 的特征值為 1, －1, 2, 設(shè) , 求: ① 。 矩陣。 matrix。 ② 。把所有得的特征值逐個(gè)代入方程組（）式, 對(duì)于每一個(gè)特征值, 解方程組（）式，求出一組基礎(chǔ)解系, 它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo), 這樣, 我們也就求出了屬于每個(gè)特征值的全部線性無(wú)關(guān)的特12n??征向量． 矩陣 的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為 的特征值, 而相應(yīng)的線性方程組（）式AA的解也就稱為 的屬于這個(gè)特征值的特征向量．例 1 設(shè)線性變換 在基 ， ， 下的矩陣是/1?23 1A???????，求 的特征值與特征向量．/A解 因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 ??21215EA??????? ,所以特征值1（二重）和 5．把特征值1 代入齊次方程組 ??1230xx????????得到 1230x??????它的基礎(chǔ)解系是 ， ．10???????因此，屬于1 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量就是，132????而屬于－1 的全部特征向量就是 ， ， 取遍數(shù)域 中不全為零的全部數(shù)對(duì). 1k?1k2P再用特征值 5 代入, 得到 12340x???????，它的基礎(chǔ)解系是 1??????．因此,
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