畢業(yè)論文矩陣的特征值與特征向量的若干應用-全文預覽
【正文】 12n?? / A0?它的一個特征向量 在 下的坐標是 . 則由 , 這說明特?12,n?? nx0201,? x?征向量 的坐標 滿足齊次次方程組??00x???????.,021 222 10121nnnnxaxa?? ???? ??即 ()????????????.0,021202 12110 nnnxaxa??? ??? ??由于 , 所以它的坐標 不全為零, 即齊次線性方程組有非零解. 0??n0,?從而, 齊次線性方程組（ ）式, 有非零解的充分必要條件是它的系數行列式為零, 即．0021 202 112100 ?????nnn naaAE???? ?????我們引入以下定義.定義 設 是數域 上一 級矩陣, 是一個文字. 矩陣 的行列式PAE??，nnnnaaAE??????? ?????21221121稱為 的特征多項式, 這是數域 上面的分析說明, 如果 是線性變換 的特征值, 那么 一定是矩陣 的特征多0?/A0A項式的一個根。 稱為特征多項式, xA??fE?稱為特征方程． （見參考文獻[3] [10]）??0fE??? 特征值與特征向量的基本性質性質 1 設 為 階方陣, 為 的 個特征值, 則 ．An12,n?? AnA??21?性質 2 方陣 可逆 的 個特征值都不為零．?性質 3 設 為方陣 的特征值, 為 的多項式, 則 為 的特征???????值．性質 4 不為方陣 的特征值 ．A0E???性質 5 (凱萊—哈密頓定理) 設 階方陣 的特征多項式為 ，則 nA??AEf???．??11nnfaa???????性質 6 設 階方陣 的 個特征值為 , 且 為對應的 個線性nA2,?? 12,np?無關的特征向量, 記 , 則??12,nPp??.???????nA??21性質 7 設 為 階實對稱陣, 是它的 個特征值, 則n(1) 當且僅當 都大于零時, 正定；12n?? A(2) 當且僅當 都小于零時, 負定； ,?(3) 當且僅當 都非負, 但至少一個等于零時, 是半正定；12n? A(4) 當且僅當 都非正, 但至少一個等于零時, 是半負定；,??(5) 當且僅當 中既有正數, 有又負數時, 是不定的．12n? 性質的應用(1) 求方陣 的行列式 以及 的多項式 的行列式 ．AA??A???A例 7 已知三階矩陣 的特征值為 1, －1, 2, 設 , 求: ① 。 ③ .3A1?5A解 ① ，??31021fE????????由性質 5 有,??320fAE???故.3142032???????② 由 , 可知 0 不是 的特征值, 由性質 2 知 可逆. 而??01f?AA,21113322 EEEA ?????????故.101????????③ ??3532522 42AEAAEAE?????故 . 5160853????????（4）求方陣 的多項式 .A???例 10 設,102????????計算 . ??854223AAE????解 由于 ，而31f?????，???10372442458 ????qf顯然.EAAfA32 22458????由性質 5 可知 ，所以??0f?.2348643710951E???????????(5) 判斷實對稱陣的正定性.例 11 設 階實對稱陣 正定, 則存在矩陣 , 使 , 且 ?B證明 因 為實對稱陣, 故存在正交矩陣 , 使P,11nPA???????????其中 為 的 個特征值. 因 正定, 故有 , 于是 ??1,2in??? A??01,2i n???? 1 111 11111n nnnnAPPPP?????? ???????????????????????????????????? ? ?? ?令,11nBPP??????????則有,2A?又因,11 2nPB??????????即 與對角陣 相似, 相似矩陣的特征值相同,故 為 的 個特征值, 因B2?1,n?? B, 由性質 7 知 正定.??01i n???? B3 小結本文利用特征值與特征向量的一些命題和性質來探討特征值與特征向量在一些解題計算中的應用，充分應用命題和性質給我
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