a不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)-展示頁
2025-05-23 23:23本頁面
【正文】 是 A的特征值 . , , , n? ? ?12證 A為 n階實(shí)對(duì)稱陣 , 有 定理 即 :若 A為 n階實(shí)對(duì)稱陣 , 則 ?正交陣 P, 使得 (證明過程給出方法 ) 21 不同特征值 λ1 λ2 … λs 代數(shù)重?cái)?shù) r1 r2 … rs 幾何重?cái)?shù) r1 r2 … rs 無關(guān)特征向量 X11 … X1r1 X21… X2r2 … Xs1… Xs rs 標(biāo)準(zhǔn)正交化 標(biāo)準(zhǔn)正交 特征向量 則 … 12 ,n??????????????A P P12Tn????????????P A P???為正交陣 11 1 1, rPP 221 2, rPP1 , ss srPP1 21 1 1 2 1 12( , , , , , , , , , )sr s s rr?P P P P P P P令 22 推論 實(shí)對(duì)稱陣的任一特征值的 代數(shù)重?cái)?shù) =幾何重?cái)?shù) . () 0 i? ??E A X)( iiR n r? ? ? ?EA即方程組 的基礎(chǔ)解系恰好含有 ri個(gè)向量 . 23 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱陣 A 的特征值為 1,1,1, 1所 對(duì)應(yīng)的特征向量為 (0,1,1)T . 求 1對(duì)應(yīng)的特征向量 . 例 1 X= k(1,0,0)T +l (0,1,1)T 解 設(shè) X =(x1,x2,x3 ) T, k ,l是 不全為零的任意常數(shù) . T( 0 , 1 , 1 )1 ?X( , ) 0 , 01 2 3xx? ? ? ?XX24 解 例 2 設(shè)三階實(shí)對(duì)稱陣 A 的特征值為 1,2,2, 2對(duì)應(yīng)的特征向量為 (1,1,0)T (0,1,1)T . 求 A的屬于 1的實(shí)單位特征向量 . 設(shè) X =(x1,x2,x3 ) T, TT( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 )??XX12( , ) 0 , ( , ) 0 , 1? ? ?X X X X X120012232221 2 31xxxxxxx? ??????? ? ? ??，12322221 2 31xxxxxxx? ??????? ? ? ??25 333333??????????????????X或 333333????????? ? ?????????X所以得 例 3 設(shè) 1 2 22 2 42 4 2???? ? ????? ???A求 正交陣 使 為對(duì)角陣 . ,P P A PT解 1 2 22 2 42 4 2??????? ? ? ?? ? ?EA1 ,23 27? ? ?? ? ? ?( ) ( ) 0227??? ? ? ?特征值為 1 2 2????將 代入 (2EA)X = 0 得基礎(chǔ)解系 ,?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?ξ ξ12221001,11210?????? ??????ξ( , )( , )212 2 1112145 5???????? ? ? ??????ξξ正交化 ,1112115 0???????? ??????單位化 22221445 5??????? ??????28
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