可換矩陣的公共特征向量研究(已修改)
2024-09-05 20:42 本頁面
【正文】 1 可換矩陣的公共特征向量研究 摘 要 :本文將考慮當(dāng)滿足 BA, 都是 n 階方陣， BAAB? 時(shí) ,如何求 BA, 的公共特征向量 ,而且得到 BA, 所有公共特征向量的求法及相關(guān)研究 . 關(guān)鍵詞 : 可換矩陣 。特征向量 。對(duì)角矩陣 . The mutative matrixs public characteristic vector studies Li Hui (Department of Mathematics, Xiaogan University,031114310) Abstract: This article considered when satisfies AB=BA, how asks A, the B publiccharacteristic vector, moreover obtains A, the B all publiccharacteristics vector asks the law. KeyWords: mutative matrixs。 characteristic vector。 diagonal matrix. 0 引言 2 在文獻(xiàn) [1]中證明了 命題 1 若 ,AB都是復(fù)數(shù)域上的 n 階方陣，且 AB BA? ，則 A 與 B 至少存在一個(gè)公共的特征向量 . 對(duì)于命題 1的證明，通常的方法是把矩陣轉(zhuǎn)化為線性變換問題，考慮其一個(gè)特征子空間中存在另一個(gè)線性變換的一個(gè)特征向量 .這種方法雖然在理論上證明了公共 特征向量的存在性，但遺憾的是無法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具體形式，而這些在理論與應(yīng)用上都是很有用的 . 本文將解決如下問題： 在第一部分，對(duì)滿足 AB BA? 的 n 階復(fù)方陣 ,AB，用新的方法證明了 ,AB有公共特征向量，該方法的一大優(yōu)點(diǎn)是，能求出 ,AB的所有公共特 征向量； 在第二部分，對(duì)可換矩陣存在公共特征向量所依賴的數(shù)域進(jìn)行了討論，通過構(gòu)造反例，修正了文獻(xiàn) [2， 3]中的疏誤； 在第三部分，對(duì)可換矩陣的更進(jìn)一步的結(jié)果進(jìn)行了探討。 1 可換矩陣的公共特征向量 定理 1 若 , nnAB C?? ，且 AB BA? ，則 A 與 B 一定存在公共的特征向量 . 證明 因?yàn)?nnAC?? ，則 A 在復(fù)數(shù)域上一定存在特征值，取 A 的任一個(gè)特征值 ? ，考慮 ? 的 特征子空間 ? ?nV C A? ? ? ??? ? ? 設(shè) dimVk? ? ，則 0k ? ，設(shè) 12, , , k? ? ? 為 V? 的一組基，則 i V??? ， 于是有 iiA? ??? ，1,2, ,ik? . 在下面的證明中，我們將證明存在 A 的屬于 ? 的一個(gè)特征向量 ? ，使 ? 也 是 B的一個(gè)特征向量，即存在某數(shù) ? 使 B? ??? 成立，從而 ? 為 A 與 B 的公共特征向量 . 由于 12, , , k? ? ? 為 V? 的一組基，設(shè) 1 1 2 2 kkc c c? ? ? ?? ? ? （ 1） 3 由 iiA? ??? ，則 ( ) ( ) ( ) ( )i i i iA B B A B B? ? ? ? ? ?? ? ?，即得 iBV??? ， 1,2, ,ik? .則有 ijlC? ， , 1,2, ,i j k? ，使得 1 1 1 1 2 1 2 12 1 2 1 2 2 2 21 1 2 2kkkkk k k k k kB l l lB l l lB l l l? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 下步將尋找不全為零的 12, , , kc c c ，使（ 1）成立，并且使 ? 為 A 與 B 的公共特征向量 . 1 1 2 2()kkB B c c c? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 kkc B c B c B? ? ?? ? ? ? 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1( ) ( )k k k k k k kc l l l c l l? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )k k k k k k kl c l c l c l c??? ? ? ? ? ? ? 而 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )k k k kc c c c c? ? ? ? ? ? ?
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