[理學(xué)]特征值問(wèn)題(已修改)
2024-10-28 21:17 本頁(yè)面
【正文】 1 第 5章 矩陣特征值問(wèn)題計(jì)算 物理、力學(xué)和工程技術(shù)的很多問(wèn)題在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為 求矩陣的特征值問(wèn)題 .例如，振動(dòng)問(wèn)題（大型橋梁或建筑 物的振動(dòng)、機(jī)械的振動(dòng)、電磁振蕩等），物理學(xué)中某些臨 界值的確定，這些問(wèn)題都?xì)w結(jié)為下述數(shù)學(xué)問(wèn)題 )2()( de t)de t ()(12211212222111211的項(xiàng)次數(shù) ??????????????????????????????????? naaaaaaaaaaaaAInnnnnnnnnn???????????????? 定義 1. （ 1）已知 ，則稱 nnijaA ?? )(為 的 特征多項(xiàng)式 . A2 .210131012?????????A 解 矩陣 的特征方程為 A,08147)d e t ()( 23 ??????? ?????? AI求得 特征值為： A.4,2,1 321 ??? ???對(duì)應(yīng)于各特征值的特征向量分別為： .121,101,111321??????????????????????????????????? xxx例 1 求 的特征值及特征向量，其中 3 通過(guò)求特征多項(xiàng)式的根的缺點(diǎn) ? 多項(xiàng)式系數(shù)的很小改變可以任意大的改多項(xiàng)式的根。如通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算在錄入系數(shù)時(shí)有舍入誤差的出現(xiàn)，這就改變了系數(shù)的值，必然導(dǎo)致根的偏差。 4 冪迭代 ? 在討論冪迭代之前先舉一個(gè)例子來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明一下 ? 例 矩陣 ? 該矩陣 A的特征值為 4和 1，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為 和 1322A ??? ????(1,1)T ( 3, 2)T?5 ? 現(xiàn)將矩陣 A乘以任意的一個(gè)向量。以 為例 321 3 1 0 7 02 2 2 0 6 0x A x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0 ( 5 , 5 ) Tx ??101 3 5 1 02 2 5 0x A x?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?211 3 1 0 1 02 2 0 2 0x A x? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?43251 3 7 0 2 5 0260 262 2 6 0 2 6 0 1x A x??? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???6 觀察發(fā)現(xiàn)以上的初始向量隨著迭 代次數(shù)的增加而接近于向量 ? 這個(gè)是否是個(gè)巧合呢？下面通過(guò)把 表示為特征向量的線性組合來(lái)說(shuō)明： 0x(1,1)T0131213x?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?7 ? 則計(jì)算過(guò)程如下： 10221332343134212134212134212134212x Axx Axx Axx
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