[理學(xué)]席第09講隨機(jī)變量數(shù)字特征(已修改)
2024-12-20 00:51 本頁面
【正文】 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量的分布，隨機(jī)變量的分布能夠完整地描述隨機(jī)變量的行為。 現(xiàn)在我們開始學(xué)習(xí)隨機(jī)變量的數(shù)字特征 討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征的原因如下： 在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的概率分布一般是較難確定的。而它的一些數(shù)字特征較易確定，人們只需要知道它的某些數(shù)字特征 . 在 實(shí)際應(yīng)用中，人們有時(shí)更關(guān)心概率分布的數(shù)字特征 . 此外，對于一些常見分布， 如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等 ，其中的參數(shù)恰好是分布的 某些 數(shù)字特征 . 只要能夠確定分布的數(shù)字特征，也就能夠完全確定分布 . 在這一章中，我們主要研究以下數(shù)字特征 : 數(shù)學(xué)期望，方差 , 相關(guān)系數(shù)和矩 下面先討論數(shù)學(xué)期望 一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 例 1 某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察 . 車工小馬每天生產(chǎn)的廢品數(shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量 . X的分布律為 2,1,0,)( ??? ipiXP i 現(xiàn)觀測 N天 ，發(fā)現(xiàn)有 n0天出現(xiàn) 0個(gè)廢品，有n1天出現(xiàn) 1個(gè)廢品，有 n2天出現(xiàn) 2個(gè)廢品。 求小馬 平均一天 生產(chǎn)的廢品數(shù) N天中 小馬生產(chǎn)的廢品總數(shù)為 210 210 nnn ?????于是 小馬 平均一天 生產(chǎn)的廢品數(shù)為 ????????? 20210 210iiNniNnnnni / N是事件 {X=i }發(fā)生 的頻率，當(dāng) N 很大時(shí)，它 穩(wěn)定于事件 {X=i }的概率 pi ???20iipi 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) N很大時(shí)，隨機(jī)變量 X的觀測值的算術(shù)平均值穩(wěn)定于 因此 可以作為描述隨機(jī)變量 X 取值的加權(quán)平均狀況的數(shù)字特征。 ???20iipi定義 1 設(shè) X是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為 : P(X=xk)=pk , k=1,2,… ????1)(kkk pxXE???1kkk px如果 絕對收斂， 則稱它為 X的數(shù)學(xué)期望 或均值，記為 E(X), 即 若 ?kkk px發(fā)散，則稱 X 的數(shù)學(xué)期望 不存在。 例 2： 已知 X 的分布如下 X 100 200 P 求 E(X) 解: ?????? 0 0 0)( XE幾種常見離散型分布的數(shù)學(xué)期望 1） 兩點(diǎn)分布 例 3： 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 p 的兩點(diǎn)分布，求 E(X) 解 : pXPXPXE ??????? )1(1)0(0)( 2） 二項(xiàng)分布 例 4： 設(shè)隨機(jī)變量 X~b(n,p)，求 E(X) 計(jì)算如下 : npqpnpqpknknnpqpknknkkXPkXEnnkknkknnkknk??????????????????????11110)()!()!1()!1()!(!!)()( 3） 泊松分布 例 5： 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 ?的泊松分 布，求 E(X) (見書 p114115 的例 6) 例 6 某人的一串鑰匙上有 n把鑰匙 ， 其中只有一把能打開自己的家門 ， 他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門 . 若每把鑰匙試開一次后除去 ， 求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 解 : 設(shè)試開次數(shù)為 X, P(X=k)= 1/n , k=1,2,…, n E(X) ????nk nk112)1(1 nnn???21?? n于是 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè) X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為 f (x). 我們的目的是：尋找一個(gè)能體現(xiàn)隨機(jī)變量取值的平均的量 . 為此 , 只要把前面的求和改成積分即可 . 定義 設(shè) X是連續(xù)型
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