【正文】 。 RungeKatta 方法 的算法產(chǎn)生與穩(wěn)定性分 析。 常微分方程 Euler 方法的理論解釋、收斂性。 一般迭代， Newton迭代、 Aitken方法、 理論依據(jù)與算法。 迭代方法的統(tǒng)一表示與松弛法 收斂性定理與誤差估計 冪法逆冪法理論與算法。 解線性方程組 矩陣特征值與特征向量 數(shù)值代數(shù) 直接方法 迭代法理論：列主元 Gauss消元法、矩陣表示與計算量 LU分解算法與用途。 數(shù)值積分：幾何意義，基本公式，算法，誤差。 作用區(qū)別，算法、誤差公式 （理解與應(yīng)用） 擬合方法的正交多項式系的概念。 ( 數(shù)值分析）數(shù)值逼近 數(shù)值代數(shù) 方程求解實際計算結(jié)果檢驗輸出預(yù)測結(jié)果修正計算方法數(shù)學(xué)模型實際問題中位置。（ ）對 取位移 將 進行 分解，關(guān)于每次迭代時位移 的取法及 方法的迭代準(zhǔn)則，就不詳述了。這樣，對 用 方法就可以加快收斂速度，這就是帶原點移位的 方法?？梢宰C明，若矩陣 的特征值滿足 則的右下角對角元 且收斂速度是線性的，速率為 。 方法“基本”收斂較慢。解：首先將 化成擬上三角陣，取1050 700 700 0501 0 00 050 7000 700 050H????????????? ? ????????于是 11( 1 ) 2 211 1 1215 1 .3 8 6 7 5 0 3 .3 2 8 2 0 0 7 .2 1 1 1 0 2 1 .2 3 0 7 6 8 8 .1 5 3 8 4 00 0 .1 5 3 8 4 6 2 .2 3 0 7 6 7, 5 ( 7 .2 1 1 0 2 ) 8 .7 7 4 9 6 4 c o s 5 0 .5 6 9 8 0 . sin 0 .8 2 1 7 8 1 H H A HH A H Q RH H rrV??????? ? ? ? ????? ???? ? ? ? ?? ? ? ??即為與 相似的擬上三角矩陣。39。39。可證明 仍是擬上三角陣，于是可按上述步驟一直迭代下去，這樣得到的 方法的運算量比基本 方法大為減少。具體步驟為：設(shè) 否則進行下一步），取旋轉(zhuǎn)矩陣 則( 2 )2( 2 ) ( 2 ) ( 2 )32 33 3( 2 ) ( 2 )1( 2 ) 2 211 211 1 1 11 2111 c os , si n , .nnnn nnhh h hhhhhH r h hrr???????????????????? ? ? ? ?其中232222232( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )1 1 2 1 3 1 1 1( 3 ) ( 3 ) ( 3 )2 2 3 2 1 2( 3 ) ( 3 ) ( 3 )2 3 3 3 1 332( 3 ) ( 3 )4 3 4 1 4 0(10c os sinsin c os 11 nnnnnnnhVr h h h hr h h hh h hVHh h h???????????????????????????????（）（）設(shè) 否則進行下一步），再取旋轉(zhuǎn)矩陣 － 則( 3 )( 3 )( 3 ) ( 3 )1( 2 )( 2 )( 2 ) 2 ( 2 ) 232222 2 2 2 2 3 222 c os , sin , ( ) ( ) .nn n n nHhhhhr h hrr????????????????????????? ? ? ?其中( ) ( 1 )1( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1 1 1 1 1( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( )1 1 1 1( ) ( )1 1 kkkkk k k kk k n nk k kk k k k n k nk k kk k k n k nk k kk k k n k nkknn nnkH V Hr h h h hr h h hh h hh h hhh????? ? ? ? ??? ? ? ???????????????????????????假設(shè)上述過程已進行了 步，有??()11( ) ( )1( ) 2 ( ) 21 0 ,11 c os sinsin c os1 c os , sin , ( ) ( ).kkkkk kkkkkkk k k kkkkkkkk k k k khVhhrrr h h???????????????????????????????????????設(shè)取其中( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 )1( ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 )1 1k k kk k nkkk k k k nkk k k kkk k k k n k nk k kk k k n k nkknn nnr h h hr h hV H Hh h hh h hhhn? ? ??????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?????????????????????????????于是因此，最多做 次旋( ) ( ) ( )1 12 13 1( ) ( )2 23 2() ()1 1 2 21 33 n n nnnnnn nnn n n nnr h h hr h hH V V V H Rrhr? ? ?????????? ? ?????????轉(zhuǎn)變換，即得12 1 3 2 12 1 3 2 123 ( 2 , 3 , , ) 4,() iiT T TnnT T TnnV i nH V V V R Q RQ V V Vn Q ROnH R RQR????????因為 均為正交矩陣，故其中 仍為正交矩陣。39。解：因 由為使 矩陣 滿足由公式39。特別地，當(dāng) 為實對稱矩陣，則經(jīng)過上述正交變換后， 變?yōu)槿龑顷嚒?11 1 1 12111 1 1 1222 2 1 1 22 ,() ()1 0 0 0 * * * *0 1 0 0 * * * *00 * * ***002wa a e si gn aw H Ha a e si gn aH ou se ho lde rH H H A H HHn?? ? ???? ???? ???? ???? ?????? ???? ???? ???????為避免在計算 時會產(chǎn)生較大的誤差 取 。為此，應(yīng)取 為如下形式其中 為 階 矩陣。如果此對角線元 全不為零 則稱該矩陣為不可約的上Hes sen ber g矩陣。實際計算時，為避免誤差取 。證： 令 于是由 －范數(shù)的定義.22222222( ) . ,()()TTiiiiix x x y xH x x yxH ouseholde r xy e x H ouseholde rx x e si gn xwx x e si gn x???????代入上式得此定理表明，對任一非零向量 都可以構(gòu)造一個變換，它將 變成事先給定的單位向量的倍數(shù)。可證其具有以下性質(zhì)：（ ） 是實對稱的正交矩陣，即僅21 1 n 1 , 1,。( 2) de t ( ) 1 。3339。222 1 0 : 1 2 1 .0 1 2: ( 2 , 1 , 0) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 0 , 1 , 2) .21 ( , , 0) ,554 2 1 3 6, ( 1 , 2 , 1 ) ( , , 0) ( , , 1 ) ,555 5 53 6 5( , , ) ,70 70 70T T TTT T TTSc hm it A Q Ra a aabab a a b bbbbb?????? ? ????? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?例用 正交化方法對 進行 分解解因而有39。2 2 2 1 139?；?A為相似的擬上三角陣的方法有多種。因此實際使用的 QR方法是先用一系列相似變換將 A化成擬上三角矩陣（稱為上 Hessenberg矩陣），然后對此矩陣用基本 QR方法。,[ , , , ] [ , , , ], ,QRk k k k k k knnnnn n nna a b b a b b b bA a a a b b ba a b a bb a bQRb a bbSc hmi t????? ? ? ????????????????即于是這就是用 正交化方法對矩陣進行的 分解。2239。1 1 1 1, , 0 ., , / ( 2 , 3 , ), , , 1 ( 1 , 2 , ),kk k k i i k k kinkk k k k k k kbbb a a b b b b b k nb b b b k na a b b a b b b b?????? ? ? ???? ? ? ??一般地取則向量組 正交，且即39。 39。1 2 2 2 2 1 2 [ , , , ] ,( , , , ) ( 1 , 2 , , ) ., / . , , , , , 0, / , 1nTj j j njA n A a a aa a a a j naab a a b a a b b a aaa a a a a a a aa a b ba a a a a ab b b b b b b???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?設(shè) 為 階非奇異實矩陣，記 其中取取則12139。 39。1 1 1 2 2 2 1 1 2 1212 1 2 1 2 1 1 139。介紹一種 Schmit正交化方法為例。 因為上三角陣的主對角元（或分塊上三角陣中，主對角線子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當(dāng) k充