方陣的特征值和特征向量-文庫吧資料
2025-05-18 14:44本頁面
【正文】 特征值， 對應(yīng)的特征向量也是 p ． ? 當(dāng) A 可逆時， 1/l 是 A?1 的特征值， 對應(yīng)的特征向量仍然是 p ． 2221 1 11 ( ) ( )( ) ( )12Ap p A p A Ap A pAp p A p pAp p A Ap A p A p plll l l llll? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?（ ）（ ）二、基本性質(zhì)（續(xù)） ? 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi) n 階矩陣 A 有 n 個特征值（重根按重數(shù)計算） ． ? 設(shè) n 階矩陣 A 的特征值為 l1, l2, …, ln，則 ? l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann ? l1 l2 … ln = |A| ? 若 l 是 A 的一個特征值，則齊次線性方程組 (A?lE) x = 0的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值為 l 的全體特征向量的最大無關(guān)組． ? 若 l 是 A 的一個特征值，則 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩陣多項式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值． 010 1 0 101( ) ( )( ) ( )mmmmmmmmA p a a A a A pa p a A p a A p a p a p a pa a a p pjlll l j l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?證 ：? 若 l 是 A 的一個特征值，則 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩陣多項式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值． 例 5 設(shè) A 為可逆矩陣 , l 為 A 的特征值 , Al p 為對應(yīng)的特征向量 , 證明 : 特征值 , p 為 A* 對應(yīng)的特征向量 . 由已知條件可知： 1 1A p p A p pll?? ? ?故 1 1.*A p A A p A pApl l?? ? ?證明 為 A* 的 因此結(jié)論成立 . 例 6（書上例 9）： 設(shè) 3 階方陣 A 的特征值為 1, ?1, 2，求 A* +3A?2E 的特征值． 解： A* +3A?2E = |A| A?1 +3A?2E = ?2A?1 +3A?2E = j (A) 其中 |A| = 1 (?1) 2 = ?2 ，所以 A 是可逆矩陣 . 設(shè) l 是 A 的一個特征值， p 是 對應(yīng)的特征向量． 令 2( ) 3 2j l ll? ? ? ?11( 2 3 2 ) 2 ( ) 3 ( ) 2223 2 3 2()()p A A E p A p A p pp p p p pAlljjlll??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????3 2 ( 1 ) 1 。 結(jié)論： 當(dāng) 時 , A至少有一個特征值等于零 . 0A ?0A ?0AA ??[ 注 意
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