【正文】 (x)和 的公因式。這說(shuō)明 ，但 不能整除 .所 以 p(x)是 的 k1重因式。 證明 由假設(shè)， f(x)可分解為 其中 p(x)不能整除 g(x)。 一個(gè)多項(xiàng)式的一階微商是一個(gè) n1階多項(xiàng)式， n階微商是 。 指數(shù) 為單因式， 為重因式。 如果 k=1，那么 p(x)稱(chēng)為 f(x)的 單因式 ； 如果 k1，那么 p(x)稱(chēng)為 f(x)的 重因式 。 BACK 64 167。 對(duì)于任意整數(shù) a,b,b≠0,都存在唯一的整數(shù) q,r 使 a=qb+r 其中 0≤r|b|。 )()()()( 21 21 xpxpxcpxf srsrr ??)(,),(),( 21 xpxpxp s?srrr , 21 ?62 如果已經(jīng)有了兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，那么 f(x),g(x)的最大公因式 d(x)就是同時(shí)出現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)分解式中的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，所帶的方冪指數(shù)為兩標(biāo)準(zhǔn)分解式中較小的一個(gè)。 (3) )(1 xq)()()()( 2112 xqxqcxpxp ts ?? ??60 并且適當(dāng)排列次序后有 （ 2）（ 3）（ 4）合起來(lái)即為所證。且 現(xiàn)在設(shè)不可約因式的個(gè)數(shù)為 s1時(shí)唯一性已證。設(shè) f(x)可分解成兩種不可約多項(xiàng)式的乘積： )(2 xf)(1 xf)(),( 21 xfxf)()()()()()()()(2121xqxqxqxfxpxpxpxfts????58 于是有： 我們對(duì) s作數(shù)學(xué)歸納法。把 的分解式合并起來(lái)就得到 f(x)一個(gè)分解式。 nxf ?? ))((如果 f(x)是不可約多項(xiàng)式，結(jié)論顯然成立，不妨設(shè) f(x)不是不可約的，即有 其中 的次數(shù)都低于 n。 當(dāng) n=1時(shí)結(jié)論成立。對(duì) f(x)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。所謂唯一地是說(shuō)，如果有兩個(gè)分解式 那么必有 s=t，并且適當(dāng)排列因式的次序后有 其中 是一些非零常數(shù)。 54 利用歸納法，這個(gè)定理可以推廣為： 如果不可約多項(xiàng)式 p(x)整除一些多項(xiàng)式 f1(x),f2(x),…,fs(x) 的乘積 f1(x)f2(x)…fs(x), 那么 p(x)一定整除這些多項(xiàng)式中的一個(gè)。 證明 如果 p(x)|f(x),那么結(jié)論已經(jīng)成立。由此可見(jiàn)， 不可約多項(xiàng)式 p(x)與任一多項(xiàng)式 f(x)之間只可能有兩種關(guān)系，或者 p(x)|f(x)，或者(p(x),f(x))=1。 52 不可約多項(xiàng)式 p(x)的因式只有非零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍 cp(x)(c≠0)這兩種。 一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式 。下面我們討論數(shù)域 P上的多項(xiàng)式環(huán) P[x]中多項(xiàng)式的因式分解 。 5 因式分解定理 不可約多項(xiàng)式 因式分解定理 標(biāo)準(zhǔn)分解式 50 不可約多項(xiàng)式 因式分解因系數(shù)域的不同而不同。 用 來(lái)表示首項(xiàng)系數(shù)為 1的最大公因式。 證明 由 有 因?yàn)? ,且 ,所以定理 4有 , 即 帶入上式得 即 )(|)()( 21 xgxfxf)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf1))(),(( 21 ?xfxf)(|)(1 xgxf )()()( 11 xhxfxg ?)()(|)( 112 xhxfxf 1))(),(( 21 ?xfxf)(|)( 12 xhxf)()()( 221 xhxfxh ?)()()()( 221 xhxfxfxg ?)(|)()( 21 xgxfxf47 d(x)稱(chēng)為 (s=2)的一個(gè)最大公因式，如果 d(x)滿(mǎn)足下面的性質(zhì)： （ 1） 。 證明 由 (f(x),g(x))=1可知，有 u(x),v(x)使 u(x)f(x) +v(x)g(x) =1 等式兩邊乘 h(x)，得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因?yàn)?f(x)|g(x)h(x),所以 f(x)整除等式左端，從而 f(x)|h(x) 。 45 互素多項(xiàng)式的性質(zhì) 定理 4 如果 (f(x),g(x))=1?，F(xiàn)在設(shè)有 u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而 d(x)是 f(x)與 g(x)的一個(gè)最大公因式。 兩個(gè)多項(xiàng)式互素當(dāng)且僅當(dāng)除零次多項(xiàng)式外沒(méi)有其它公因式。 例 （ 15）看書(shū)。 輾轉(zhuǎn)相除法 )(xrs )(xrs )(1 xrs?)(xrs41 由上面的倒數(shù)第二等式，我們有 再由倒數(shù)第三式，將 帶入上式， 消去 用同樣的方法 ,逐個(gè)消去 再合并得到 輾轉(zhuǎn)相除法 )()()()()( xgxvxfxuxr s ??)()()()( 12 xrxqxrxr ssss ?? ??)(1 xrs?)(1 xrs?)(,),( 12 xrxr s ??42 如果 都是 f(x)與 g(x)的兩個(gè)最大公因式，那么一定有 與 ,也就是 ,c≠， 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式在可以相差一個(gè)非零常數(shù)的情況下是唯一確定的 。無(wú)妨設(shè) g(x) ≠0. 按帶余除法有： 0)()()()( 111 ??? rxrxgxqxf0)()()()( 2212 ??? rxrxrxqxg39 其中 ??????? )()()( 21 rrg0)()()()( 33231 ??? rxrxrxqxr????????????????????0)()()()( 12 ??? ?? iiiii rxrxrxqxr0)()()(0)()()()(0)()()()(111211213?????????????????xrxqxrrxrxrxqxrrxrxrxqxrsssssssssssss40 根據(jù)前面的結(jié)論， 是 與 的一個(gè)最大公因式； 同樣的理由，逐步推上去， 就是 f(x)與 g(x)的一個(gè)最大公因式。 事實(shí)上： 如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（ 1）， p(x)|f(x). 反過(guò)來(lái)，如果 p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它們的線(xiàn)性組合 r(x)=f(x)q(x)g(x) 由此可見(jiàn)， 如果 g(x),r(x)有一個(gè)最大 公因式 d(x)，那么 d(x)也是 f(x),g(x)的一個(gè) 最大公因式。 兩個(gè)零多項(xiàng)式的最大公因式是 0。 P[x]中的 多項(xiàng)式 d(x)稱(chēng)為 f(x),g(x)的一個(gè) 最大公因式 ， 如果它滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件： （ 1） d(x)是 f(x),g(x)的公因式； （ 2） f(x),g(x)的公因式全是 d(x)的因式。 4 最大公因式 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式求法 兩個(gè)多項(xiàng)式互素 互素多項(xiàng)式的性質(zhì) 多個(gè)多項(xiàng)式的情況 34 最大公因式 如果 既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式，那么就稱(chēng) 為 f(x)和 g(x)的 公因式 。 兩多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因系數(shù)域的 擴(kuò)大 而改變。 事實(shí)上 ：由 g(x)|f(x), 有 f(x)=h(x) g(x) 由 f(x)|g(x)，有 g(x)=t(x) f(x),所以 f(x)=h(x)t(x)f(x) 若 f(x)=0,則 g(X)=0,成立；若 f(x)?0, 由上式有 h(x)t(x)=1 從而 所以 h(X)為非零常數(shù)。但 g(x)|f(x)中， g(x) 可以為 0。 28 定理１ 對(duì)于數(shù)域 P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x),g(X)， 其中 的充