【正文】 t次項 的系數(shù)為 ??? sjijiba?? ?????? ???tkjikjitks sjikji cbacba )(18 ?? ?????? ???tkjikjitri rkjkji cbacba )(因此右邊 t次項 的系數(shù)為 左邊 =右邊。 證明 用歸納法來敘述 如果 f(x)=0,取 q(x)=r(x)=0即可。 當 n≥m時，假設(shè)當 f(x)的次數(shù)小于 n時，q(x),r(X)的存在已證。于是 即有 使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。 “g(x)|f(x)”表示 整除 ， g(x)稱為 f(x)的 因式 ， f(x)稱為 g(x)的 倍式 ； g(x) f(x)表示 不能整除 。這時 當 g(x) 不等于 0時，有時用 表示 f(x) 被 g(x) 整除 ( ) | ( )g x f x( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x h x h x? ? ?()()fxgx29 結(jié)論 : (1) f(x)|f(x) (2) f(x)|0 (3) a|f(x) (a 不等于 0） 30 性質(zhì)１、 f(x)|g(x), g(x)|f(x), 則 f(x)=cg(x).其中 c為非零常數(shù)。 rixgxf i ,2,1),(|)( ??)]()()()()()([|)( 2211 xgxuxgxuxgxuxf rr??? ?BACK 33 167。 )(x?)(x?35 如 ： f(x)是 f(x)， 0的最大公因式。 37 定理 2 對于 P[x]中任意兩個多項式 f(x),g(x),在 P[x]中存在一個最大公因式 d(x)，且 d(x)可以表示成 f(x),g(x)的一個線性組合，即有 P[x]中多項式 u(x),v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 證明 如果 f(x),g(x)有一個為零，譬如說，g(x)=0,那么 f(x)就是一個最大公因式，且 f(x)=1 f(x) +1 0 38 下面看一般情形。 用 (f(x),g(x)) 表示兩個非零多項式首項系數(shù)是 1的哪個最大公因式。 互素多項式 44 定理 3 P[x]中兩個多項式互素的充分必要條件是有 P[x]中的多項式 u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 證明 必要性是定理 2的直接推論。且 f(x)|g(x)h(x),那么 f(x)|h(x)。 (2) 如果 ,那么p(x)|d(x)。如在有理數(shù)域上 在數(shù)域 上 在復(fù)數(shù)域上 由此可見，必須明確系數(shù)域后，所謂不能再分才有確切涵義。一個多項式是否不可約是依賴于系數(shù)域的 。 53 定理 5 如果 p(x)是不可約多項式，那么對于任意的兩個多項式 f(x),g(x)，由p(x)|f(x)g(x)一定推出 p(x)|f(x)或者 p(x)|g(x)。 55 因式分解唯一性定理 數(shù)域 P上每一個次數(shù) ≥1的多項式 f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域 P上一些不可約多項式的乘積。設(shè) 。 )()()( 21 xfxfxf ?)(),( 21 xfxf57 由歸納法假設(shè) 和 都可以分解成數(shù)域 P上的一些不可約多項式的乘積。當 s=1時， f(x)是不可約多項式，由定義必有 s=t=1。 ( ) ( ) ( 2 , 3 , , ) ( 4)i i ip x c q x i s??61 多項式的標準分解式為 其中 c是 f(x)的首項系數(shù)， 是不同的首項系數(shù)為 1的不可約多項式，而 是正整數(shù)。 整數(shù)的因式分解理論能夠類似得到。 )(|)( xfxp k 1 ( ) | ( )kp x f x? ?66 f(x)的標準分解式為： 那么 分別是 f(x)的 重， 重， … ， 重因式。 n+1階微商呢？ 0111)( axaxaxaxf nnnn ????? ?? ?1211 )1()( axnanxaxf nnnn ?????? ??? ?68 )()())(()()()()())()(()())(()()())()((1xfxmfxfxgxfxgxfxgxfxfcxcfxgxfxgxfmm??????????????????微商公式 69 重因式的判別方法 定理 6 如果不可約多項式 p(x)是 f(x)的 k重因式（ k≥1)那么是微商 的 k1重因式。 )(|)(1 xfxp k ?? )(xpk )(xf ?)(xf?推論１ 如果不可約多項式 p(x)是 f(x)的 k重 因式（ k≥1)，那么 p(x)是 的因式， 但不是 的因式。 設(shè) f(x)具有標準分解式 )(xf?)(xf ?)()()()( 21 21 xpxpxcpxf srsrr ??72 則由定理 6有： 于是 這是一個沒有重因式的多項式，但是它與f(x)具有相同的不可約多項式，這是一個去 掉因式重數(shù)的有效方法。下面我們把多項式看為函數(shù)。 nnn axaxaxf ???? ? ?110)(?nnn aaaf ???? ? ?110)( ?????x75 由帶余除法我們得到下面的余數(shù)定理。 x ??()f ?( ) ( ) ( )f x x q x c?? ? ?()cf ??( ) 0f ? ? ?76 推論 是 f(x)的根的充分必要條件是 稱為 f(x)的 k重根 ， 如果 是 f(x)的 k重因式。 n≥1時， f(x)可分解為 P[x]上不可約多項式的乘積。 數(shù)域上的多項式既可以作為形式表達式， 也可以作為函數(shù)來處理 . 79 定理９ 如果多項式 f(x),g(x)的次數(shù)都不超過 n，而它們對 n+1個不同的數(shù) 有相同的值，即 那么 f(x)=g(x)。 )1,2,1(0)()( ???? nigf ii ???121 , ?n??? ?)1,2,1()()( ??? nigf ii ???BACK 80 167。 復(fù)數(shù)多項式的因式分解定理 每個次數(shù) ≥１的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一分解成一次因式的乘積。因為 兩邊取共軛有 110( ) 0nnnnf a a a? ? ? ??? ? ? ? ?85 實系數(shù)多項式的因式分解定理 每個 次數(shù) ≥１的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一地分解為一次因式與二次不可約因式的乘積。由代數(shù)基本定理， f(x)有一復(fù)根 。從而 是 n2次實系數(shù)多項式。而在復(fù)數(shù)域上只有一次多項式不可約；在實數(shù)域上不可約多項式只有一次和某些二次。 如果 cf(x)的各項系數(shù)有公因子，可以提出來，得到 cf(x)=dg(x) 即 0111)( axaxaxaxf nnnn ????? ?? ?)()( xgcdxf ?其中 g(x)是整系數(shù)多項式， 且各項系數(shù)沒有異于 177。 任何一個有理系數(shù)多項式 f(x)都可以分解為一 個有理數(shù) r與一個本原多項式 g(x)的乘積，即 f(x)=rg(x)。 證明 設(shè) 是兩個本原多項式， 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?011)( bxbxbxg mmmm ???? ?? ?96 而 是它們的乘積。 01 , ddd mnmn ????97 因為 f(x)是本原的，所以 p不能同時整除f(x)的每一個系數(shù)。 ??????????????????22112211jijijijijijibababababadjid?jibajiba99 定理 11 如果一非零的整系數(shù)多項式 能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù) 多項式的乘積，那么它一定能分解成 兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積。 ? 推論 設(shè) f(x),g(x)是整系數(shù)多項式，且 g(x)是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系數(shù)多項式，那么 h(x)一定是整系數(shù)多項式。根據(jù)上述推論 式中 都是整數(shù)，比較兩邊系數(shù) sr)(|)( xfsrx ?))(()( 011 bxbrsxxf nn ???? ?? ?01 , bb n ??104 則得 因此 ? 例１ 求方程 的有理根。 １， 直接驗證可知 177。 kb因為 所以 p整除 或 。這是