【正文】 )()()())(),(( 1211 121 xpxpxpxfxf srsrr ?? ??? ?BACK 73 167。 78 由上面知，每個多項式函數(shù)都可由一個多項式定義。 設定理對次數(shù)小于 n的多項式已經(jīng)證明。 93 例如 )3152(15252232 2424 xxxxxx ?????94 如果一個非零的 整系數(shù) 多項式 的系數(shù) 沒有異于 177。 a 這就是說， rs 是一個整數(shù)。不妨設 但 。 106 ? 定理 13 (Eisenstein判別法 ) 設 是一個整系數(shù)多項式，如果有一個素數(shù) p，使得 那么 f(x)在有理數(shù)域上是不可約的。這是不可能的。 第二 在有理系數(shù)多項式環(huán)中有任意次的不可約多項式。 標準分解式說明了 每個 n次復系數(shù) 多項式恰好有 n個復根（重根按重數(shù)計算） 。 )(|)( xfx ??()x ????? ?77 定理 8 p[x]中 n次多項式 (n≥0)在數(shù)域 P中的根不可能多于 n個，重根按重數(shù)計算。 推論３ 多項式 f(x)沒有重因式的充分必要條件是 f(x)與 互素。 63 整數(shù)的帶余除法 。 )()()()()()()( 2121 xqxqxqxpxpxpxf ts ?? ??sixqcxp iii ,2,1),()( ???),2,1( sic i ??56 證明 先證分解式的存在。且 )(,),(),( 21 xfxfxf s?),2,1)((|)( sixfxd i ??),2,1)((|)( sixfxp i ??))(,),(),(( 21 xfxfxf s?多個多項式的情況 121 2 1( ( ) , ( ) , , ( ) )( ( ( ) , ( ) , , ( ) ) , ( ) )sssf x f x f xf x f x f x f x??48 如果 ,稱 為互素的 注意 與 兩兩互素的關系 )(,),(),( 21 xfxfxf s?1))(,),(),(( 21 ?xfxfxf s?)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(,),(),( 21 xfxfxf s?BACK 49 167。 這就是定理中的（ 2）式。 注 ： 帶余除法中 g(x)必須不為零。 3 整除的概念 以后討論都是在某一固定的數(shù)域 P上的 多項式環(huán)中進行。,1,0(, mjniba ji ?? ??6 例 3 所有奇數(shù)組成的數(shù)集，對于乘法是封閉的，但對于加、減不是封閉的。 9 有理系數(shù)多項式 2 167。 6 重因式 167。 設 于是 也不為零，而 )2(Q)2(2)()2()2)(2(Qbcadbdacdcba???????02 ?? ba 2ba ?)2(2222)2)(2()2)(2(222222Qbabcadbabdacbababadcbadc??????????????5 由上兩式可以得出 乘、除法也是封閉的。 零多項式不定義次數(shù) 。這就證明了 q(x)稱為 g(x)除 f(x)的 商 ， r(x)為 余式 ))()(())(())()(( xrxrxgxqxq ?????????))()(())(( xrxrxg ?????)()(),()( xrxrxqxq ????26 例題 | | |_____________ | | | |_____________ | 3 2 23 4 5 6 , 3 1f x x x g x x? ? ? ? ? ? ?132 ?? xx 654323 ??? xxx6813 2 ?? xx731 ?xx3xxx 393 23 ??13?133913 2 ?? xx()( 3 1 3 ) ( ) ( 3 1 7 )fxx g x x? ? ? ?27 定義５ 數(shù)域 P上的多項式 g(x)稱為 整除 f(x),如果有數(shù)域 P上的多項式 h(x)使得 f(x)=g(x)h(x) 成立。 事實上： 如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（ 1）， p(x)|f(x). 反過來，如果 p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它們的線性組合 r(x)=f(x)q(x)g(x) 由此可見， 如果 g(x),r(x)有一個最大 公因式 d(x)，那么 d(x)也是 f(x),g(x)的一個 最大公因式。 證明 由 有 因為 ,且 ,所以定理 4有 , 即 帶入上式得 即 )(|)()( 21 xgxfxf)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf1))(),(( 21 ?xfxf)(|)(1 xgxf )()()( 11 xhxfxg ?)()(|)( 112 xhxfxf 1))(),(( 21 ?xfxf)(|)( 12 xhxf)()()( 221 xhxfxh ?)()()()( 221 xhxfxfxg ?)(|)()( 21 xgxfxf47 d(x)稱為 (s=2)的一個最大公因式，如果 d(x)滿足下面的性質： （ 1） 。 54 利用歸納法，這個定理可以推廣為： 如果不可約多項式 p(x)整除一些多項式 f1(x),f2(x),…,fs(x) 的乘積 f1(x)f2(x)…fs(x), 那么 p(x)一定整除這些多項式中的一個。 (3) )(1 xq)()()()( 2112 xqxqcxpxp ts ?? ??60 并且適當排列次序后有 （ 2）（ 3）（ 4）合起來即為所證。這說明 ，但 不能整除 .所 以 p(x)是 的 k1重因式。 證明 所以 如果 ，那么 就稱為 f(x)的一個 根或 零點 。也可敘述為： 每個次數(shù) ≥１的復系數(shù)多項式，在復數(shù)域上一定有一個一次因式 。 但是對于任一個給定的多項式，要具體分解卻很復雜，即使在判斷一個有理系數(shù)多項式是否可約也不是容易的。 １的公因子， 即有一個素數(shù) p整除 h(x)的每個系數(shù)。 15)( 3 ??? xxxf因 f(x)的有理根只可能是 177。 kxkkkk cbcbcba 0110 ???? ? ?01 , bba kk ??0cbk kb0c110 對任意的 n，多項式 在 有理數(shù)域上是不可約的。 )())(()( 11 xhxrsgxf ?)(1 xrsg )(1 xh102 定理 12 設 是一個整系數(shù)多項式，而 是它的一個有理根，其中 r,s互素，那么必有 sr011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?0|,| aras n特別地，如果 f(x)的首相項系數(shù) 那么 f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是 的因子 。且這種分解除相差一個正負號是唯 一的。 ?86 如果 是實數(shù)，那么 其中 是 n1次多項式。 證明 由定理條件，有 即多項式 f(x)g(x)有 n+1個不同的根。 設 （１） 是 p[x]中的多項式， 是 P中的數(shù) 稱為 f(x)當 時的值 。 指數(shù) 為單因式， 為重因式。把 的分解式合并起來就得到 f(x)一個分解式。 52 不可約多項式 p(x)的因式只有非零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍 cp(x)(c≠0)這兩種。現(xiàn)在設有 u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而 d(x)是 f(x)與 g(x)的一個最大公因式。 4 最大公因式 兩個多項式的最大公因式 兩個多項式的最大公因式求法 兩個多項式互素 互素多項式的性質 多個多項式的情況 34