【正文】 全是實數， 是正整數， 并且 在實數域上是不可 約即適合 rskrrklslnqxpxqxpxcxcxaxf)()()()()(2112111?????????rrs qqppcc ,, 111 ???rs kkll ,, 11 ??),2,1(2 riqxpx ii ????riqp ii ,2,1,042 ????BACK 89 167。 ９ 有理系數多項式 有理系數多項式分解化為整系數多項式分解 Gauss 引理 求多項式的有理根 有理系數不可約多項式的判定 90 有理系數多項式 在有理數域上，每個次數 ≥１的有理系數多項式都可唯一地分解成不可約的有理系數多項式的乘積。 但是對于任一個給定的多項式，要具體分解卻很復雜，即使在判斷一個有理系數多項式是否可約也不是容易的。而在復數域上只有一次多項式不可約；在實數域上不可約多項式只有一次和某些二次。 本節(jié)我們主要給出有理系數多項式的兩個重要事實： 91 第一 有理系數多項式的因式分解問題可以歸結為整系數多項式的因式分解問題，并進而解決有理系數多項式求有理根的問題。 第二 在有理系數多項式環(huán)中有任意次的不可約多項式。 92 設 是一個有理系數多項式 適當乘以整數 c，總可以使 cf(x)是一個整系數多項式。 如果 cf(x)的各項系數有公因子，可以提出來，得到 cf(x)=dg(x) 即 0111)( axaxaxaxf nnnn ????? ?? ?)()( xgcdxf ?其中 g(x)是整系數多項式， 且各項系數沒有異于 177。 １的公因子。 93 例如 )3152(15252232 2424 xxxxxx ?????94 如果一個非零的 整系數 多項式 的系數 沒有異于 177。 １的公因子， 即它們是互素的，它就稱為一個 本原多項式 。 任何一個有理系數多項式 f(x)都可以分解為一 個有理數 r與一個本原多項式 g(x)的乘積，即 f(x)=rg(x)。且這種分解除相差一個正負號是唯 一的。 0111)( bxbxbxbxg nnnn ????? ?? ?01 , bbb nn ??95 下面討論一個本原多項式是否可以分解為兩個 低次的有理系數多項式，或兩個低次的整系數多 項式的乘積。 定理 10 (高斯 (Gauss)引理 )兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式 。 證明 設 是兩個本原多項式， 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?011)( bxbxbxg mmmm ???? ?? ?96 而 是它們的乘積。 用反證法 。 如果 h(x)不是本原的，也就是說 h(x)的系數 011)()()( dxdxdxgxfxh mnmnmnmn ????? ?????? ? 有一個異于 177。 １的公因子， 即有一個素數 p整除 h(x)的每個系數。 01 , ddd mnmn ????97 因為 f(x)是本原的，所以 p不能同時整除f(x)的每一個系數。令 是第一個不能被整除的系數，即 同樣， g(x)也是本原的，令 是第一個不能被 p整除的系數，即 現在來看 h(x)的系數 ，由乘法定義 iaii apaap |,| 10 ??jbjj bpbbp |,| 10 ??jid?98 ? 由假設， p整除左端 ，整除右端 以外的每一項，但 p不能整除 。這是不可能的。所以 h(x)一定是本原多項式。 ??????????????????22112211jijijijijijibababababadjid?jibajiba99 定理 11 如果一非零的整系數多項式 能夠分解成兩個次數較低的有理系數 多項式的乘積，那么它一定能分解成 兩個次數較低的整系數多項式的乘積。 證明 設整系數多項式有分解式 f(x)=g(x)h(x) 其中 g(x),h(X)是有理系數多項式，且 ))(())(()),(())(( xfxhxfxg ??????100 ? 令 這里 都是本原多項式， a是整數， r,s是有理數，于是 由定理 10， 是本原多項式，從而 rs=177。 a 這就是說， rs 是一個整數。因此有 )()(),()(),()( 111 xshxhxrgxgxafxf ???)(),(),( 111 xhxgxf)()()( 111 xhxrsgxaf ?)()( 11 xhxg101 ? 這里 與 都是整系數多項式，且次數都低于 f(x)的次數。 ? 推論 設 f(x),g(x)是整系數多項式，且 g(x)是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系數多項式，那么 h(x)一定是整系數多項式。 )())(()( 11 xhxrsgxf ?)(1 xrsg )(1 xh102 定理 12 設 是一個整系數多項式，而 是它的一個有理根，其中 r,s互素，那么必有 sr011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?0|,| aras n特別地，如果 f(x)的首相項系數 那么 f(x)的有理根都是整數，而且是 的因子 。 1?na0a103 ? 證明 因為 是 f(x)的一個有理根。因此在有理數域上 從而 (sxr)|f(x) 因為 r,s互素，所以 sxr是一個本原多項式。根據上述推論 式中 都是整數，比較兩邊系數 sr)(|)( xfsrx ?))(()( 011 bxbrsxxf nn ???? ?? ?01 , bb n ??104 則得 因此 ? 例１ 求方程 的有理根。 這個方程的有理根只能是 ? 用綜合除法可以看出，除去１以外全不是它的根，這個方程的有理根只有 x=1。 001 , rbasba nn ??? ?0|,| aras n0322 34 ???? xxx23,21,3,1 ????105 例２ 證明 在有理數域上不可約。 15)( 3 ??? xxxf因 f(x)的有理根只可能是 177。 １， 直接驗證可知 177。 １全不是它的根， 因而 f(x)沒有有理根， 即在有理數域上不可約。 106 ? 定理 13 (Eisenstein判別法 ) 設 是一個整系數多項式，如果有一個素數 p，使得 那么 f(x)在有理數域上是不可約的。 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?02021|.3,|.2|.1apaaapapnnn???107 證明 如果 f(x)在有理數域上可約，由定理 11， f(x)可分解成兩個次數較低的整系數多項式乘積： 因此 ),())(()( 00nmlnmlcxcbxbxf mmll???????? ??000, cbacba mln ??108 另一方面， 所以 假設 中第一個不能被 p整除的 nap |lbp |lbbb , 10 ?是 。 kb因為 所以 p整除 或 。但 所以 p不能同時整除 及 。不妨設 但 。 0| ap 0b 0c 02 | ap0b 0c0| bp 0| cp109 比較 f(x)中 的系數，得 式中 都能被 p整除，所以 也必須被 p整除，而 p是素數，所以 與 至少有一個被 p整除。這是一個矛盾。 kxkkkk cbcbcba 0110 ???? ? ?01 , bba kk ??0cbk kb0c110 對任意的 n，多項式 在 有理數域上是不可約的。 即有理數域上存在 任意次 的不可約多項式。 2?nxBACK