【正文】 全是實(shí)數(shù)， 是正整數(shù)， 并且 在實(shí)數(shù)域上是不可 約即適合 rskrrklslnqxpxqxpxcxcxaxf)()()()()(2112111?????????rrs qqppcc ,, 111 ???rs kkll ,, 11 ??),2,1(2 riqxpx ii ????riqp ii ,2,1,042 ????BACK 89 167。 ９ 有理系數(shù)多項(xiàng)式 有理系數(shù)多項(xiàng)式分解化為整系數(shù)多項(xiàng)式分解 Gauss 引理 求多項(xiàng)式的有理根 有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式的判定 90 有理系數(shù)多項(xiàng)式 在有理數(shù)域上，每個(gè)次數(shù) ≥１的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可唯一地分解成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 但是對(duì)于任一個(gè)給定的多項(xiàng)式，要具體分解卻很復(fù)雜，即使在判斷一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約也不是容易的。而在復(fù)數(shù)域上只有一次多項(xiàng)式不可約；在實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次和某些二次。 本節(jié)我們主要給出有理系數(shù)多項(xiàng)式的兩個(gè)重要事實(shí)： 91 第一 有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題可以歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題，并進(jìn)而解決有理系數(shù)多項(xiàng)式求有理根的問(wèn)題。 第二 在有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中有任意次的不可約多項(xiàng)式。 92 設(shè) 是一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式 適當(dāng)乘以整數(shù) c，總可以使 cf(x)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。 如果 cf(x)的各項(xiàng)系數(shù)有公因子，可以提出來(lái)，得到 cf(x)=dg(x) 即 0111)( axaxaxaxf nnnn ????? ?? ?)()( xgcdxf ?其中 g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式， 且各項(xiàng)系數(shù)沒(méi)有異于 177。 １的公因子。 93 例如 )3152(15252232 2424 xxxxxx ?????94 如果一個(gè)非零的 整系數(shù) 多項(xiàng)式 的系數(shù) 沒(méi)有異于 177。 １的公因子， 即它們是互素的，它就稱(chēng)為一個(gè) 本原多項(xiàng)式 。 任何一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式 f(x)都可以分解為一 個(gè)有理數(shù) r與一個(gè)本原多項(xiàng)式 g(x)的乘積，即 f(x)=rg(x)。且這種分解除相差一個(gè)正負(fù)號(hào)是唯 一的。 0111)( bxbxbxbxg nnnn ????? ?? ?01 , bbb nn ??95 下面討論一個(gè)本原多項(xiàng)式是否可以分解為兩個(gè) 低次的有理系數(shù)多項(xiàng)式，或兩個(gè)低次的整系數(shù)多 項(xiàng)式的乘積。 定理 10 (高斯 (Gauss)引理 )兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式 。 證明 設(shè) 是兩個(gè)本原多項(xiàng)式， 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?011)( bxbxbxg mmmm ???? ?? ?96 而 是它們的乘積。 用反證法 。 如果 h(x)不是本原的，也就是說(shuō) h(x)的系數(shù) 011)()()( dxdxdxgxfxh mnmnmnmn ????? ?????? ? 有一個(gè)異于 177。 １的公因子， 即有一個(gè)素?cái)?shù) p整除 h(x)的每個(gè)系數(shù)。 01 , ddd mnmn ????97 因?yàn)?f(x)是本原的，所以 p不能同時(shí)整除f(x)的每一個(gè)系數(shù)。令 是第一個(gè)不能被整除的系數(shù)，即 同樣， g(x)也是本原的，令 是第一個(gè)不能被 p整除的系數(shù)，即 現(xiàn)在來(lái)看 h(x)的系數(shù) ，由乘法定義 iaii apaap |,| 10 ??jbjj bpbbp |,| 10 ??jid?98 ? 由假設(shè)， p整除左端 ，整除右端 以外的每一項(xiàng)，但 p不能整除 。這是不可能的。所以 h(x)一定是本原多項(xiàng)式。 ??????????????????22112211jijijijijijibababababadjid?jibajiba99 定理 11 如果一非零的整系數(shù)多項(xiàng)式 能夠分解成兩個(gè)次數(shù)較低的有理系數(shù) 多項(xiàng)式的乘積，那么它一定能分解成 兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 證明 設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式有分解式 f(x)=g(x)h(x) 其中 g(x),h(X)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，且 ))(())(()),(())(( xfxhxfxg ??????100 ? 令 這里 都是本原多項(xiàng)式， a是整數(shù)， r,s是有理數(shù)，于是 由定理 10， 是本原多項(xiàng)式，從而 rs=177。 a 這就是說(shuō)， rs 是一個(gè)整數(shù)。因此有 )()(),()(),()( 111 xshxhxrgxgxafxf ???)(),(),( 111 xhxgxf)()()( 111 xhxrsgxaf ?)()( 11 xhxg101 ? 這里 與 都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且次數(shù)都低于 f(x)的次數(shù)。 ? 推論 設(shè) f(x),g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且 g(x)是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么 h(x)一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。 )())(()( 11 xhxrsgxf ?)(1 xrsg )(1 xh102 定理 12 設(shè) 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而 是它的一個(gè)有理根，其中 r,s互素，那么必有 sr011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?0|,| aras n特別地，如果 f(x)的首相項(xiàng)系數(shù) 那么 f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是 的因子 。 1?na0a103 ? 證明 因?yàn)? 是 f(x)的一個(gè)有理根。因此在有理數(shù)域上 從而 (sxr)|f(x) 因?yàn)?r,s互素，所以 sxr是一個(gè)本原多項(xiàng)式。根據(jù)上述推論 式中 都是整數(shù)，比較兩邊系數(shù) sr)(|)( xfsrx ?))(()( 011 bxbrsxxf nn ???? ?? ?01 , bb n ??104 則得 因此 ? 例１ 求方程 的有理根。 這個(gè)方程的有理根只能是 ? 用綜合除法可以看出，除去１以外全不是它的根，這個(gè)方程的有理根只有 x=1。 001 , rbasba nn ??? ?0|,| aras n0322 34 ???? xxx23,21,3,1 ????105 例２ 證明 在有理數(shù)域上不可約。 15)( 3 ??? xxxf因 f(x)的有理根只可能是 177。 １， 直接驗(yàn)證可知 177。 １全不是它的根， 因而 f(x)沒(méi)有有理根， 即在有理數(shù)域上不可約。 106 ? 定理 13 (Eisenstein判別法 ) 設(shè) 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù) p，使得 那么 f(x)在有理數(shù)域上是不可約的。 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?02021|.3,|.2|.1apaaapapnnn???107 證明 如果 f(x)在有理數(shù)域上可約，由定理 11， f(x)可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式乘積： 因此 ),())(()( 00nmlnmlcxcbxbxf mmll???????? ??000, cbacba mln ??108 另一方面， 所以 假設(shè) 中第一個(gè)不能被 p整除的 nap |lbp |lbbb , 10 ?是 。 kb因?yàn)? 所以 p整除 或 。但 所以 p不能同時(shí)整除 及 。不妨設(shè) 但 。 0| ap 0b 0c 02 | ap0b 0c0| bp 0| cp109 比較 f(x)中 的系數(shù)，得 式中 都能被 p整除，所以 也必須被 p整除，而 p是素?cái)?shù)，所以 與 至少有一個(gè)被 p整除。這是一個(gè)矛盾。 kxkkkk cbcbcba 0110 ???? ? ?01 , bba kk ??0cbk kb0c110 對(duì)任意的 n，多項(xiàng)式 在 有理數(shù)域上是不可約的。 即有理數(shù)域上存在 任意次 的不可約多項(xiàng)式。 2?nxBACK