【正文】 于任意整數(shù) a,b,b≠0,都存在唯一的整數(shù) q,r 使 a=qb+r 其中 0≤r|b|。 如果 k=1，那么 p(x)稱(chēng)為 f(x)的 單因式 ； 如果 k1，那么 p(x)稱(chēng)為 f(x)的 重因式 。 一個(gè)多項(xiàng)式的一階微商是一個(gè) n1階多項(xiàng)式， n階微商是 。這說(shuō)明 ，但 不能整除 .所 以 p(x)是 的 k1重因式。 這個(gè)推論表明， 判斷一個(gè)多項(xiàng)式有沒(méi)有 重因式， 可以通過(guò) —— 輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)解決 。 ７ 多項(xiàng)式函數(shù) 多項(xiàng)式函數(shù)的定義 余數(shù)定理 多項(xiàng)式的根 重根 多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù) 不同多項(xiàng)式定義不同的函數(shù) 74 多項(xiàng)式函數(shù) 以上，我們把多項(xiàng)式作為形式表達(dá)式來(lái)考慮。當(dāng) P是實(shí)數(shù)域時(shí)，就是數(shù)學(xué)分析中討論的多項(xiàng)式函數(shù)。 證明 所以 如果 ，那么 就稱(chēng)為 f(x)的一個(gè) 根或 零點(diǎn) 。 證 n=0顯然成立。不同的多項(xiàng)式會(huì)不會(huì)定義相同的函數(shù)呢？即是否存在 f(x) ≠g(x) 而對(duì)于 P中的所有數(shù) 都有 ？ )()( ?? gf ??定理 9 說(shuō)明：不同的多項(xiàng)式定義不同的函數(shù)。因此， f(x)=g(x)。也可敘述為： 每個(gè)次數(shù) ≥１的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式 。 s??? ,2,1 ? slll ,2,1 ?1212( ) ( ) ( ) ( ) slll sf x x x x? ? ?? ? ? ?83 在復(fù)數(shù)域上，不可約多項(xiàng)式只能是 一次多項(xiàng)式 結(jié)論： 在復(fù)數(shù)域， 如果 的根全部是 的根，則 ()fx( ) | ( )f x g x()gx84 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 ??0)( 011 ????? ?? aaaf nnnn ????對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式： 如果 是 f(x)的復(fù)根，那么， 也是 f(x)的根 。 設(shè) f(x)是 n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式。于是 顯然 是一個(gè)實(shí)系數(shù)二次不可約多項(xiàng)式。 但是對(duì)于任一個(gè)給定的多項(xiàng)式，要具體分解卻很復(fù)雜，即使在判斷一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式是否可約也不是容易的。 92 設(shè) 是一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式 適當(dāng)乘以整數(shù) c，總可以使 cf(x)是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式。 １的公因子， 即它們是互素的，它就稱(chēng)為一個(gè) 本原多項(xiàng)式 。 定理 10 (高斯 (Gauss)引理 )兩個(gè)本原多項(xiàng)式的乘積仍是本原多項(xiàng)式 。 １的公因子， 即有一個(gè)素?cái)?shù) p整除 h(x)的每個(gè)系數(shù)。所以 h(x)一定是本原多項(xiàng)式。因此有 )()(),()(),()( 111 xshxhxrgxgxafxf ???)(),(),( 111 xhxgxf)()()( 111 xhxrsgxaf ?)()( 11 xhxg101 ? 這里 與 都是整系數(shù)多項(xiàng)式，且次數(shù)都低于 f(x)的次數(shù)。因此在有理數(shù)域上 從而 (sxr)|f(x) 因?yàn)?r,s互素，所以 sxr是一個(gè)本原多項(xiàng)式。 15)( 3 ??? xxxf因 f(x)的有理根只可能是 177。 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?02021|.3,|.2|.1apaaapapnnn???107 證明 如果 f(x)在有理數(shù)域上可約，由定理 11， f(x)可分解成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式乘積： 因此 ),())(()( 00nmlnmlcxcbxbxf mmll???????? ??000, cbacba mln ??108 另一方面， 所以 假設(shè) 中第一個(gè)不能被 p整除的 nap |lbp |lbbb , 10 ?是 。 0| ap 0b 0c 02 | ap0b 0c0| bp 0| cp109 比較 f(x)中 的系數(shù)，得 式中 都能被 p整除，所以 也必須被 p整除，而 p是素?cái)?shù)，所以 與 至少有一個(gè)被 p整除。 2?nxBACK 。 kxkkkk cbcbcba 0110 ???? ? ?01 , bba kk ??0cbk kb0c110 對(duì)任意的 n，多項(xiàng)式 在 有理數(shù)域上是不可約的。但 所以 p不能同時(shí)整除 及 。 １全不是它的根， 因而 f(x)沒(méi)有有理根， 即在有理數(shù)域上不可約。 這個(gè)方程的有理根只能是 ? 用綜合除法可以看出，除去１以外全不是它的根，這個(gè)方程的有理根只有 x=1。 )())(()( 11 xhxrsgxf ?)(1 xrsg )(1 xh102 定理 12 設(shè) 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而 是它的一個(gè)有理根，其中 r,s互素，那么必有 sr011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?0|,| aras n特別地，如果 f(x)的首相項(xiàng)系數(shù) 那么 f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是 的因子 。 證明 設(shè)整系數(shù)多項(xiàng)式有分解式 f(x)=g(x)h(x) 其中 g(x),h(X)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，且 ))(())(()),(())(( xfxhxfxg ??????100 ? 令 這里 都是本原多項(xiàng)式， a是整數(shù)， r,s是有理數(shù)，于是 由定理 10， 是本原多項(xiàng)式，從而 rs=177。令 是第一個(gè)不能被整除的系數(shù)，即 同樣， g(x)也是本原的，令 是第一個(gè)不能被 p整除的系數(shù)，即 現(xiàn)在來(lái)看 h(x)的系數(shù) ，由乘法定義 iaii apaap |,| 10 ??jbjj bpbbp |,| 10 ??jid?98 ? 由假設(shè)， p整除左端 ，整除右端 以外的每一項(xiàng)，但 p不能整除 。 用反證法 。且這種分解除相差一個(gè)正負(fù)號(hào)是唯 一的。 １的公因子。 本節(jié)我們主要給出有理系數(shù)多項(xiàng)式的兩個(gè)重要事實(shí)： 91 第一 有理系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題可以歸結(jié)為整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問(wèn)題，并進(jìn)而解決有理系數(shù)多項(xiàng)式求有理根的問(wèn)題。 ? )()()(1 xfxxf ???)(1 xf? ??? ?)())(()( 2 xfxxxf ?? ????????? ?????? xxxx )())(( 2)(2 xf87 由歸納假定， 或 可以分解成一次與二次不可約多項(xiàng)式的乘積，因而 f(x)也可以如此分解 )(1 xf )(2 xf在實(shí)數(shù)域上， 不可約實(shí)多項(xiàng)式只有兩種 （ 1）一次實(shí)多項(xiàng)式 （ 2）二次實(shí)多項(xiàng)式中滿(mǎn)足 22 , 4 0x px q p q? ? ? ?88 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式： 其中 全是實(shí)數(shù)， 是正整數(shù)， 并且 在實(shí)數(shù)域上是不可 約即適合 rskrrklslnqxpxqxpxcxcxaxf)()()()()(2112111?????????rrs qqppcc , 111 ???rs kkll , 11 ??),2,1(2 riqxpx ii ????riqp ii ,2,1,042 ????BACK 89 167。 ?86 如果 是實(shí)數(shù)，那么 其中 是 n1次多項(xiàng)式。 證明 定理對(duì)一次多項(xiàng)式顯然成立。 82 因此，復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式有標(biāo)準(zhǔn)分解式 其中 是不同的復(fù)數(shù)， 是正整數(shù)。 ８ 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 在復(fù)數(shù)域上證明多項(xiàng)式整除 81 復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 對(duì)于復(fù)數(shù)域，我們有： 代數(shù)基本定理 每個(gè)次數(shù) ≥１的 復(fù)系數(shù) 多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中都有一個(gè)根。 證明 由定理?xiàng)l件，有 即多項(xiàng)式 f(x)g(x)有 n+1個(gè)不同的根。由上推論及根重?cái)?shù)定義， f(x)在 P上根的個(gè)數(shù)等于分解式中一次因式的個(gè)數(shù)，這個(gè)個(gè)數(shù)當(dāng)然不會(huì)超過(guò)n