【正文】 設另有多項式 使 其中 或者 于是 )(),( xrxq ??)()()()( xrxgxqxf ????))(())(( xgxr ????0)( ?? xr)()()()()()( xrxgxqxrxgxq ?????即 如果 而 所以 )()()())()(( xrxrxgxqxq ?????)()( xqxq ?? 0)( ?xg0)()( ??? xrxr25 因此有 但是 矛盾。這就證明了 q(x)稱為 g(x)除 f(x)的 商 ， r(x)為 余式 ))()(())(())()(( xrxrxgxqxq ?????????))()(())(( xrxrxg ?????)()(),()( xrxrxqxq ????26 例題 | | |_____________ | | | |_____________ | 3 2 23 4 5 6 , 3 1f x x x g x x? ? ? ? ? ? ?132 ?? xx 654323 ??? xxx6813 2 ?? xx731 ?xx3xxx 393 23 ??13?133913 2 ?? xx()( 3 1 3 ) ( ) ( 3 1 7 )fxx g x x? ? ? ?27 定義５ 數(shù)域 P上的多項式 g(x)稱為 整除 f(x),如果有數(shù)域 P上的多項式 h(x)使得 f(x)=g(x)h(x) 成立。 “g(x)|f(x)”表示 整除 ， g(x)稱為 f(x)的 因式 ， f(x)稱為 g(x)的 倍式 ； g(x) f(x)表示 不能整除 。 28 定理１ 對于數(shù)域 P上的任意兩個多項式 f(x),g(X)， 其中 的充分必要條件是 g(x)除 f(x) 的余式為零。 注 ： 帶余除法中 g(x)必須不為零。但 g(x)|f(x)中， g(x) 可以為 0。這時 當 g(x) 不等于 0時，有時用 表示 f(x) 被 g(x) 整除 ( ) | ( )g x f x( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x h x h x? ? ?()()fxgx29 結論 : (1) f(x)|f(x) (2) f(x)|0 (3) a|f(x) (a 不等于 0） 30 性質１、 f(x)|g(x), g(x)|f(x), 則 f(x)=cg(x).其中 c為非零常數(shù)。 事實上 ：由 g(x)|f(x), 有 f(x)=h(x) g(x) 由 f(x)|g(x)，有 g(x)=t(x) f(x),所以 f(x)=h(x)t(x)f(x) 若 f(x)=0,則 g(X)=0,成立；若 f(x)?0, 由上式有 h(x)t(x)=1 從而 所以 h(X)為非零常數(shù)。 ( ( ) ) ( ( ) ) 0h x t x? ? ? ?31 性質 f(x)|g(x), g(x)|h(x), 則 f(x)|h(x). 32 性質 3 那么 注 ： f(x)與 cf(x) (c?0)有相同的因式、倍式。 兩多項式的整除關系不因系數(shù)域的 擴大 而改變。 rixgxf i ,2,1),(|)( ??)]()()()()()([|)( 2211 xgxuxgxuxgxuxf rr??? ?BACK 33 167。 4 最大公因式 兩個多項式的最大公因式 兩個多項式的最大公因式求法 兩個多項式互素 互素多項式的性質 多個多項式的情況 34 最大公因式 如果 既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式，那么就稱 為 f(x)和 g(x)的 公因式 。 定義 6 設 f(x),g(x)是 P[x]中的兩個多項式。 P[x]中的 多項式 d(x)稱為 f(x),g(x)的一個 最大公因式 ， 如果它滿足下列兩個條件： （ 1） d(x)是 f(x),g(x)的公因式； （ 2） f(x),g(x)的公因式全是 d(x)的因式。 )(x?)(x?35 如 ： f(x)是 f(x)， 0的最大公因式。 兩個零多項式的最大公因式是 0。 36 最大公因式的求法 結論 ： 如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （ 1） 成立，那么 f(x),g(x)和 g(x),r(x)有相同的公因式。 事實上： 如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（ 1）， p(x)|f(x). 反過來，如果 p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它們的線性組合 r(x)=f(x)q(x)g(x) 由此可見， 如果 g(x),r(x)有一個最大 公因式 d(x)，那么 d(x)也是 f(x),g(x)的一個 最大公因式。 37 定理 2 對于 P[x]中任意兩個多項式 f(x),g(x),在 P[x]中存在一個最大公因式 d(x)，且 d(x)可以表示成 f(x),g(x)的一個線性組合，即有 P[x]中多項式 u(x),v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 證明 如果 f(x),g(x)有一個為零，譬如說，g(x)=0,那么 f(x)就是一個最大公因式，且 f(x)=1 f(x) +1 0 38 下面看一般情形。無妨設 g(x) ≠0. 按帶余除法有： 0)()()()( 111 ??? rxrxgxqxf0)()()()( 2212 ??? rxrxrxqxg39 其中 ??????? )()()( 21 rrg0)()()()( 33231 ??? rxrxrxqxr????????????????????0)()()()( 12 ??? ?? iiiii rxrxrxqxr0)()()(0)()()()(0)()()()(111211213?????????????????xrxqxrrxrxrxqxrrxrxrxqxrsssssssssssss40 根據(jù)前面的結論， 是 與 的一個最大公因式； 同樣的理由，逐步推上去， 就是 f(x)與 g(x)的一個最大公因式。 這就是定理中的（ 2）式。 輾轉相除法 )(xrs )(xrs )(1 xrs?)(xrs41 由上面的倒數(shù)第二等式，我們有 再由倒數(shù)第三式，將 帶入上式， 消去 用同樣的方法 ,逐個消去 再合并得到 輾轉相除法 )()()()()( xgxvxfxuxr s ??)()()()( 12 xrxqxrxr ssss ?? ??)(1 xrs?)(1 xrs?)(,),( 12 xrxr s ??42 如果 都是 f(x)與 g(x)的兩個最大公因式，那么一定有 與 ,也就是 ,c≠， 兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非零常數(shù)的情況下是唯一確定的 。 用 (f(x),g(x)) 表示兩個非零多項式首項系數(shù)是 1的哪個最大公因式。 例 （ 15）看書。 )(),( 21 xdxd)(|)( 21 xdxd )(|)( 12 xdxd)()( 21 xcdxd ?43 定義 7 P[x]中兩個多項式 f(x),g(x)稱為 互素（質）的 ，如果 (f(x),g(x))=1。 兩個多項式互素當且僅當除零次多項式外沒有其它公因式。 互素多項式 44 定理 3 P[x]中兩個多項式互素的充分必要條件是有 P[x]中的多項式 u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)