【正文】 , 那么 。 )(),( 21 xdxd)(|)( 21 xdxd )(|)( 12 xdxd)()( 21 xcdxd ?43 定義 7 P[x]中兩個多項式 f(x),g(x)稱為 互素（質(zhì)）的 ，如果 (f(x),g(x))=1。 36 最大公因式的求法 結(jié)論 ： 如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （ 1） 成立，那么 f(x),g(x)和 g(x),r(x)有相同的公因式。 ( ( ) ) ( ( ) ) 0h x t x? ? ? ?31 性質(zhì) f(x)|g(x), g(x)|h(x), 則 f(x)|h(x). 32 性質(zhì) 3 那么 注 ： f(x)與 cf(x) (c?0)有相同的因式、倍式。 ))(())(( 1 xgxr ??? 0)(1 ?xr)()())(()( 111 xrxgaxbxqxf mn ??? ??)()(,)()( 111 xrxraxbxqxq mn ??? ??)(),(,0)(),( xrxqxgxf ?)()()()( 111 xrxgxqxf ??24 唯一性 ：設(shè)另有多項式 使 其中 或者 于是 )(),( xrxq ??)()()()( xrxgxqxf ????))(())(( xgxr ????0)( ?? xr)()()()()()( xrxgxqxrxgxq ?????即 如果 而 所以 )()()())()(( xrxrxgxqxq ?????)()( xqxq ?? 0)( ?xg0)()( ??? xrxr25 因此有 但是 矛盾。令 f(x),g(x)的次數(shù)分別為 n,m。 系數(shù)全為零的多項式稱為 零多項式 ， 記為 0 稱為（ 1）的 首項 ； ：首項系數(shù) ； n為 （ 1）的 次數(shù) ， 記為 。任何一個有理數(shù)可以表成兩個整數(shù)的商，由 P 對除法的封閉性即得上述結(jié)論。現(xiàn)在證明它對乘除法也是封閉的。 數(shù)的運算：加、減、乘、除。 5 因式分解定理 167。 2 一元多項式 167。 1 數(shù) 域 多項式是代數(shù)學中最基本的對象之一，它不但與高等方程的討論有關(guān)，而且在進一步學習代數(shù)以及其它數(shù)學分支時也都會用到。 例 1 所有具有形式 的數(shù)（ a,b是任意有理數(shù)），構(gòu)成一個數(shù)域。 的整倍數(shù)的全體構(gòu)成一數(shù)集，它對于加、減法是封閉的，但對于除法不封閉。 011 axaxannnn ????? ?naaa , 10 ?10 注： x 代表未知量或符號（如矩陣）。 帶余除法 整除 整除的性質(zhì) 21 帶余除法 對于 P[x]中任意兩個多項式 f(x)與 g(x)，其中 ，一定有 P[x]中的多項式 q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （１） 成立，其中 或者 r(x)=0,并且這樣的 q(x),r(x)是唯一的。對于后者，取 ；對于前者，由歸納法假設(shè)，對 有 存在使 mn bxax ,)(1 xgaxb mn ??)()()( 11 xgaxbxfxf mn ????0)(,)( 1 ?? ?? xraxbxq mn)(),(1 xgxf )(),(11 xrxq23 其中 或者 。但 g(x)|f(x)中， g(x) 可以為 0。 P[x]中的 多項式 d(x)稱為 f(x),g(x)的一個 最大公因式 ， 如果它滿足下列兩個條件： （ 1） d(x)是 f(x),g(x)的公因式； （ 2） f(x),g(x)的公因式全是 d(x)的因式。 輾轉(zhuǎn)相除法 )(xrs )(xrs )(1 xrs?)(xrs41 由上面的倒數(shù)第二等式，我們有 再由倒數(shù)第三式，將 帶入上式， 消去 用同樣的方法 ,逐個消去 再合并得到 輾轉(zhuǎn)相除法 )()()()()( xgxvxfxuxr s ??)()()()( 12 xrxqxrxr ssss ?? ??)(1 xrs?)(1 xrs?)(,),( 12 xrxr s ??42 如果 都是 f(x)與 g(x)的兩個最大公因式，那么一定有 與 ,也就是 ,c≠， 兩個多項式的最大公因式在可以相差一個非零常數(shù)的情況下是唯一確定的 。 45 互素多項式的性質(zhì) 定理 4 如果 (f(x),g(x))=1。 5 因式分解定理 不可約多項式 因式分解定理 標準分解式 50 不可約多項式 因式分解因系數(shù)域的不同而不同。由此可見， 不可約多項式 p(x)與任一多項式 f(x)之間只可能有兩種關(guān)系，或者 p(x)|f(x)，或者(p(x),f(x))=1。對 f(x)的次數(shù)作數(shù)學歸納法。設(shè) f(x)可分解成兩種不可約多項式的乘積： )(2 xf)(1 xf)(),( 21 xfxf)()()()()()()()(2121xqxqxqxfxpxpxpxfts????58 于是有： 我們對 s作數(shù)學歸納法。 對于任意整數(shù) a,b,b≠0,都存在唯一的整數(shù) q,r 使 a=qb+r 其中 0≤r|b|。 一個多項式的一階微商是一個 n1階多項式， n階微商是 。 這個推論表明， 判斷一個多項式有沒有 重因式， 可以通過 —— 輾轉(zhuǎn)相除法來解決 。當 P是實數(shù)域時，就是數(shù)學分析中討論的多項式函數(shù)。 證 n=0顯然成立。因此， f(x)=g(x)。 s??? ,2,1 ? slll ,2,1 ?1212( ) ( ) ( ) ( ) slll sf x x x x? ? ?? ? ? ?83 在復數(shù)域上，不可約多項式只能是 一次多項式 結(jié)論： 在復數(shù)域， 如果 的根全部是 的根，則 ()fx( ) | ( )f x g x()gx84 實系數(shù)多項式 ??0)( 011 ????? ?? aaaf nnnn ????對于實系數(shù)多項式： 如果 是 f(x)的復根，那么， 也是 f(x)的根 。于是 顯然 是一個實系數(shù)二次不可約多項式。 92 設(shè) 是一個有理系數(shù)多項式 適當乘以整數(shù) c，總可以使 cf(x)是一個整系數(shù)多項式。 定理 10 (高斯 (Gauss)引理 )兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式 。所以 h(x)一定是本原多項式。因此在有理數(shù)域上 從而 (sxr)|f(x) 因為 r,s互素，所以 sxr是一個本原多項式。 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?02021|.3,|.2|.1apaaapapnnn???107 證明 如果 f(x)在有理數(shù)域上可約，由定理 11， f(x)可分解成兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式乘積： 因此 ),())(()( 00nmlnmlcxcbxbxf mmll???????? ??000, cbacba mln ??108 另一方面， 所以 假設(shè) 中第一個不能被 p整除的 nap |lbp |lbbb , 10 ?是 。 2?nxBACK 。但 所以 p不能同時整除 及 。 這個方程的有理根只能是 ? 用綜合除法可以看出，除去１以外全不是它