【正文】 1 第一章 多項(xiàng)式 167。 1 數(shù)域 167。 2 一元多項(xiàng)式 167。 3 整除的概念 167。 4 最大公因式 167。 5 因式分解定理 167。 6 重因式 167。 7 多項(xiàng)式函數(shù) 167。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 167。 9 有理系數(shù)多項(xiàng)式 2 167。 1 數(shù) 域 多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中最基本的對(duì)象之一，它不但與高等方程的討論有關(guān)，而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時(shí)也都會(huì)用到。本章介紹多項(xiàng)式的基本知識(shí)。 數(shù)：自然數(shù) → 整數(shù) → 有理數(shù) → 實(shí)數(shù) → 復(fù)數(shù)。 數(shù)的運(yùn)算：加、減、乘、除。這些運(yùn)算性質(zhì)稱為 代數(shù)性質(zhì) 。有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)對(duì)這四種運(yùn)算都是封閉的。有其它一些數(shù)集也具有這樣的性質(zhì)，引入： 3 定義一 設(shè) P 是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意兩個(gè)數(shù)（這兩個(gè)數(shù)也可以相同 ） 的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是 P 中的數(shù)，那么 P 就稱為一個(gè) 數(shù)域。 有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為數(shù)域，記為Q(rational number)、 R（ real number)、C(plex number)。 例 1 所有具有形式 的數(shù)（ a,b是任意有理數(shù)），構(gòu)成一個(gè)數(shù)域。 通常用 來表示這個(gè)數(shù)域。 2ba ?)2(Q4 證明 顯然 包含 0和 1并且對(duì)于加減法是封閉的?，F(xiàn)在證明它對(duì)乘除法也是封閉的。 設(shè) 于是 也不為零，而 )2(Q)2(2)()2()2)(2(Qbcadbdacdcba???????02 ?? ba 2ba ?)2(2222)2)(2()2)(2(222222Qbabcadbabdacbababadcbadc??????????????5 由上兩式可以得出 乘、除法也是封閉的。 例 2 所有 可以表成 形式 的數(shù)組成一數(shù)域，其中 n,m為任意非負(fù)整數(shù)， 是整數(shù)。 )2(Qmmnnbbbaaa????????????1010),1,0。,1,0(, mjniba ji ?? ??6 例 3 所有奇數(shù)組成的數(shù)集，對(duì)于乘法是封閉的，但對(duì)于加、減不是封閉的。 的整倍數(shù)的全體構(gòu)成一數(shù)集，它對(duì)于加、減法是封閉的，但對(duì)于除法不封閉。 27 重要性質(zhì) ： 所有的數(shù)域都包含有理數(shù)作為他的一部分。 事實(shí)上，設(shè) P 是一個(gè)數(shù)域，由定義， 1+1=2， 2+1=3， … ， n+1=n+1,… 全屬于 P ，再由 P 對(duì)減法的封閉性， on=n，也屬于 P ，因而 P 包含全體整數(shù)。任何一個(gè)有理數(shù)可以表成兩個(gè)整數(shù)的商，由 P 對(duì)除法的封閉性即得上述結(jié)論。 返回 8 167。 2 一元多項(xiàng)式 一元多項(xiàng)式的定義 基本運(yùn)算及其規(guī)律 9 基本定義 給定數(shù)域 P， x是一個(gè)符號(hào) 。 定義 2 設(shè) n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。形式表達(dá)式 （ 1） 其中 全屬于數(shù)域 P， 稱為 系數(shù)在數(shù)域 P 中的一元多項(xiàng)式 ，或者 簡(jiǎn)稱 為數(shù)域 P上的一元多項(xiàng)式。 011 axaxannnn ????? ?naaa , 10 ?10 注： x 代表未知量或符號(hào)（如矩陣）。 稱為 i 次項(xiàng) , 稱為 i 次項(xiàng)的系數(shù) 多項(xiàng)式用 或 來表示。 iixaia)(),( xgxf ,fg11 定義 3 如果在多項(xiàng)式 f(x)與 g(x)中，除去系數(shù)為零的項(xiàng)外，同次項(xiàng)的系數(shù)全相等，那么 f(x)與 g(x)就稱為 相等 ，記為 f(x)=g(x)。 系數(shù)全為零的多項(xiàng)式稱為 零多項(xiàng)式 ， 記為 0 稱為（ 1）的 首項(xiàng) ； ：首項(xiàng)系數(shù) ； n為 （ 1）的 次數(shù) ， 記為 。 零多項(xiàng)式不定義次數(shù) 。 )0( ?nnn axana))(( xf?12 運(yùn)算 ： 加法 ： 如 n≥m，為方便，在 g(x)中令 ， 對(duì)于加減法： ??????mjjjniii xbxgxaxf00)(,)(011 ???? ?? mnn bbb ??????niiii xbaxgxf0)()()())(),(m a x()( gfgf ?????13 001001111)()()()(baxbabaxbabaxbaxgxfmnmnmnmnmn??????????????? ??? ???nmsssjiji xba0)(乘積 14 ? 對(duì)于乘法 ：如果 那么 ，且 數(shù)域 P上的兩個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)過加、減、乘運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍是數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 0)(,0)( ?? xgxf0)()( ?xgxf))(())(())()(( xgxfxgxf ?????15 運(yùn)算規(guī)律 ： 加法交換律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 加法結(jié)合律： (f+g)+h=f+(g+h) 乘法交換律： f(x)g(x)=g(x)f(x) 16 乘法結(jié)合律 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(X)h(x)) 事實(shí)上 ： ?????????lkkkmjjjniii xchxbgxaf000,17 左邊， f(x)g(x)中 s次項(xiàng)的系數(shù)為 因此左邊 t次項(xiàng) 的系數(shù)為 ??? sjijiba?? ?????? ???tkjikjitks sjikji cbacba )(18 ?? ?????? ???tkjikjitri rkjkji cbacba )(因此右邊 t次項(xiàng) 的系數(shù)為 左邊 =右邊。 右邊， g(x)h(x)中 r次項(xiàng)的系數(shù)為 ??? rkjkj cb19 乘法對(duì)加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(X)g(X)+f(X)h(X) 乘法消去律： f(x)g(x)=f(x)h(x),且 ,那么 g(x)=h(X) 定義 4 所有系數(shù)在數(shù)域 P中的多項(xiàng)式的全體，稱為數(shù)域 P上的 一元多項(xiàng)式環(huán)， 記為 P[x], P稱為 P[x]的 系數(shù)域 0)( ?xfBACK 20 167。 3 整除的概念 以后討論都是在某一固定的數(shù)域 P上的 多項(xiàng)式環(huán)中進(jìn)行。 帶余除法 整除 整除的性質(zhì) 21 帶余除法 對(duì)于 P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x)與 g(x)，其中 ，一定有 P[x]中的多項(xiàng)式 q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （１） 成立，其中 或者 r(x)=0,并且這樣的 q(x),r(x)是唯一的。 證明 用歸納法來敘述 如果 f(x)=0,取 q(x)=r(x)=0即可。 以下設(shè) 。令 f(x),g(x)的次數(shù)分別為 n,m。對(duì) f(x)的次數(shù) n作第二數(shù)學(xué)歸納法 0)( ?xg))(())(( xgxr ???0)( ?xf22 當(dāng) nm時(shí)，顯然取 q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式成立。 當(dāng) n≥m時(shí)，假設(shè)當(dāng) f(x)的次數(shù)小于 n時(shí)，q(x),r(X)的存在已證?，F(xiàn)看次數(shù)為 n的情形。 令 分別為 f(X),g(X)的首項(xiàng)，顯然 與 f(x)有相同的首項(xiàng)，因而 的次數(shù)小于 n或者為０。對(duì)于后者，取 ；對(duì)于前者，由歸納法假設(shè)，對(duì) 有 存在使 mn bxax ,)(1 xgaxb mn ??)()()( 11 xgaxbxfxf mn ????0)(,)( 1 ?? ?? xraxbxq mn)(),(1 xgxf )(),(11 xrxq23 其中 或者 。于是 即有 使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。由歸納法定理，對(duì)任意的 的存在性就證明了。 ))(())(( 1 xgxr ??? 0)(1 ?xr)()())(()( 111 xrxgaxbxqxf mn ??? ??)()(,)()( 111 xrxraxbxqxq mn ??? ??)(),(,0)(),( xrxqxgxf ?)()()()( 111 xrxgxqxf ??24 唯一性 ：