【正文】 3 2 23 4 5 6 , 3 1f x x x g x x? ? ? ? ? ? ?132 ?? xx 654323 ??? xxx6813 2 ?? xx731 ?xx3xxx 393 23 ??13?133913 2 ?? xx()( 3 1 3 ) ( ) ( 3 1 7 )fxx g x x? ? ? ?27 定義５ 數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 g(x)稱為 整除 f(x),如果有數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 h(x)使得 f(x)=g(x)h(x) 成立。對 f(x)的次數(shù) n作第二數(shù)學(xué)歸納法 0)( ?xg))(())(( xgxr ???0)( ?xf22 當(dāng) nm時(shí)，顯然取 q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式成立。 零多項(xiàng)式不定義次數(shù) 。 返回 8 167。 設(shè) 于是 也不為零，而 )2(Q)2(2)()2()2)(2(Qbcadbdacdcba???????02 ?? ba 2ba ?)2(2222)2)(2()2)(2(222222Qbabcadbabdacbababadcbadc??????????????5 由上兩式可以得出 乘、除法也是封閉的。這些運(yùn)算性質(zhì)稱為 代數(shù)性質(zhì) 。 6 重因式 167。 1 數(shù)域 167。 9 有理系數(shù)多項(xiàng)式 2 167。 有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為數(shù)域，記為Q(rational number)、 R（ real number)、C(plex number)。,1,0(, mjniba ji ?? ??6 例 3 所有奇數(shù)組成的數(shù)集，對于乘法是封閉的，但對于加、減不是封閉的。形式表達(dá)式 （ 1） 其中 全屬于數(shù)域 P， 稱為 系數(shù)在數(shù)域 P 中的一元多項(xiàng)式 ，或者 簡稱 為數(shù)域 P上的一元多項(xiàng)式。 3 整除的概念 以后討論都是在某一固定的數(shù)域 P上的 多項(xiàng)式環(huán)中進(jìn)行。 令 分別為 f(X),g(X)的首項(xiàng)，顯然 與 f(x)有相同的首項(xiàng)，因而 的次數(shù)小于 n或者為０。 注 ： 帶余除法中 g(x)必須不為零。 定義 6 設(shè) f(x),g(x)是 P[x]中的兩個(gè)多項(xiàng)式。 這就是定理中的（ 2）式。于是d(x)|f(x),d(x)|g(x)從而 d(x)|1,即 (f(x),g(x))=1。且 )(,),(),( 21 xfxfxf s?),2,1)((|)( sixfxd i ??),2,1)((|)( sixfxp i ??))(,),(),(( 21 xfxfxf s?多個(gè)多項(xiàng)式的情況 121 2 1( ( ) , ( ) , , ( ) )( ( ( ) , ( ) , , ( ) ) , ( ) )sssf x f x f xf x f x f x f x??48 如果 ,稱 為互素的 注意 與 兩兩互素的關(guān)系 )(,),(),( 21 xfxfxf s?1))(,),(),(( 21 ?xfxfxf s?)(,),(),( 21 xfxfxf s? )(,),(),( 21 xfxfxf s?BACK 49 167。反之，具有這種性質(zhì)的多項(xiàng)式一定是不可約多項(xiàng)式。 )()()()()()()( 2121 xqxqxqxpxpxpxf ts ?? ??sixqcxp iii ,2,1),()( ???),2,1( sic i ??56 證明 先證分解式的存在。 下面證唯一性 。 63 整數(shù)的帶余除法 。 )()()()( 21 21 xpxpxcpxf srsrr ??)(,),(),( 21 xpxpxp s? 1r2rsr1?ir1?ir67 設(shè)有多項(xiàng)式 一階微商 為 高階微商 同樣定義。 推論３ 多項(xiàng)式 f(x)沒有重因式的充分必要條件是 f(x)與 互素。 f(x)稱為 P上的 多項(xiàng)式函數(shù) 。 )(|)( xfx ??()x ????? ?77 定理 8 p[x]中 n次多項(xiàng)式 (n≥0)在數(shù)域 P中的根不可能多于 n個(gè)，重根按重?cái)?shù)計(jì)算。如果 f(x)g(x) ≠0,那么它就是一個(gè)次數(shù)不超過 n的多項(xiàng)式，由定理８，它不可能有 n+1個(gè)根。 標(biāo)準(zhǔn)分解式說明了 每個(gè) n次復(fù)系數(shù) 多項(xiàng)式恰好有 n個(gè)復(fù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算） 。 如果 是復(fù)數(shù)，那么 也是 f(x)的根且 。 第二 在有理系數(shù)多項(xiàng)式環(huán)中有任意次的不可約多項(xiàng)式。 0111)( bxbxbxbxg nnnn ????? ?? ?01 , bbb nn ??95 下面討論一個(gè)本原多項(xiàng)式是否可以分解為兩個(gè) 低次的有理系數(shù)多項(xiàng)式，或兩個(gè)低次的整系數(shù)多 項(xiàng)式的乘積。這是不可能的。 1?na0a103 ? 證明 因?yàn)? 是 f(x)的一個(gè)有理根。 106 ? 定理 13 (Eisenstein判別法 ) 設(shè) 是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有一個(gè)素?cái)?shù) p，使得 那么 f(x)在有理數(shù)域上是不可約的。 即有理數(shù)域上存在 任意次 的不可約多項(xiàng)式。不妨設(shè) 但 。 001 , rbasba nn ??? ?0|,| aras n0322 34 ???? xxx23,21,3,1 ????105 例２ 證明 在有理數(shù)域上不可約。 a 這就是說， rs 是一個(gè)整數(shù)。 如果 h(x)不是本原的，也就是說 h(x)的系數(shù) 011)()()( dxdxdxgxfxh mnmnmnmn ????? ?????? ? 有一個(gè)異于 177。 93 例如 )3152(15252232 2424 xxxxxx ?????94 如果一個(gè)非零的 整系數(shù) 多項(xiàng)式 的系數(shù) 沒有異于 177。 ９ 有理系數(shù)多項(xiàng)式 有理系數(shù)多項(xiàng)式分解化為整系數(shù)多項(xiàng)式分解 Gauss 引理 求多項(xiàng)式的有理根 有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式的判定 90 有理系數(shù)多項(xiàng)式 在有理數(shù)域上，每個(gè)次數(shù) ≥１的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可唯一地分解成不可約的有理系數(shù)多項(xiàng)式的乘積。 設(shè)定理對次數(shù)小于 n的多項(xiàng)式已經(jīng)證明。 由復(fù)變函數(shù)論來證明。 78 由上面知，每個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)都可由一個(gè)多項(xiàng)式定義。所得的余式是一個(gè)常 數(shù)，這個(gè)常數(shù)等于函數(shù)值 。 )()()())(),(()(21 xpxpxcpxfxfxfs???)()()())(),(( 1211 121 xpxpxpxfxf srsrr ?? ??? ?BACK 73 167。因此 令 ))()()()()(()( 1 xgxpxpxkgxpxf k ????? ?)()()()()( xgxpxpxkgxh ????)()()( xgxpxf k?)(xf ?70 那么 p(x)整除右端的第二項(xiàng)，但不能整除第 一項(xiàng)，因此 p(x)不能整除 h(x)。 6 重因式 ? 重因式的有關(guān)定義 ? 重因式的判別方法 ? 其他有關(guān)結(jié)論 65 重因式的定義 定義 9 不可約多項(xiàng)式 p(x)稱為多項(xiàng)式 f(x)的 k重 因式 ， 如果 而 這里 k 大于或等于 1。 由（ 1）式， 因此 必除盡其中一個(gè)， 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 )stf x p x p x p x q x q x q x??)()()( 11 xqxpxf ??)()()(|)( 211 xqxqxqxp t?)(1 xp59 不妨設(shè) 因 也是不可約多項(xiàng)式，所以有 )(|)( 11 xqxp)(1 xq1 1 1( ) ( ) ( 2)p x c q x?在（ 1）式兩邊消去 ，就有 由歸納法假定有 s1=t1，即 s=t。 設(shè)結(jié)論對次數(shù)低于 n的多項(xiàng)式已經(jīng)成立。 如果 p(x)| f(X),那么由以上說明可知 (p(x),f(x))=1 于是由定理 4得 p(x)|g(x)。 )2)(2(4 224 ???? xxx)2(Q )2)(2)(2(4 24 ????? xxxx)2)(2)(2)(2(44 ixixxxx ??????51 定義 8 數(shù)域 P上 次數(shù) ≥1的多項(xiàng)式 p(x)稱為 數(shù)域 P上的 不可約多項(xiàng)式 ， 如果它不能表 成數(shù)域 P上的兩個(gè)次數(shù)比 p(x)低的多項(xiàng)式的乘積。 46 推論 如果 ,且