【正文】 項(xiàng) ； ：首項(xiàng)系數(shù) ； n為 （ 1）的 次數(shù) ， 記為 。形式表達(dá)式 （ 1） 其中 全屬于數(shù)域 P， 稱為 系數(shù)在數(shù)域 P 中的一元多項(xiàng)式 ，或者 簡稱 為數(shù)域 P上的一元多項(xiàng)式。任何一個(gè)有理數(shù)可以表成兩個(gè)整數(shù)的商，由 P 對(duì)除法的封閉性即得上述結(jié)論。,1,0(, mjniba ji ?? ??6 例 3 所有奇數(shù)組成的數(shù)集，對(duì)于乘法是封閉的，但對(duì)于加、減不是封閉的?，F(xiàn)在證明它對(duì)乘除法也是封閉的。 有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)為數(shù)域，記為Q(rational number)、 R（ real number)、C(plex number)。 數(shù)的運(yùn)算：加、減、乘、除。 9 有理系數(shù)多項(xiàng)式 2 167。 5 因式分解定理 167。 1 數(shù)域 167。 2 一元多項(xiàng)式 167。 6 重因式 167。 1 數(shù) 域 多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中最基本的對(duì)象之一，它不但與高等方程的討論有關(guān)，而且在進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)以及其它數(shù)學(xué)分支時(shí)也都會(huì)用到。這些運(yùn)算性質(zhì)稱為 代數(shù)性質(zhì) 。 例 1 所有具有形式 的數(shù)（ a,b是任意有理數(shù)），構(gòu)成一個(gè)數(shù)域。 設(shè) 于是 也不為零，而 )2(Q)2(2)()2()2)(2(Qbcadbdacdcba???????02 ?? ba 2ba ?)2(2222)2)(2()2)(2(222222Qbabcadbabdacbababadcbadc??????????????5 由上兩式可以得出 乘、除法也是封閉的。 的整倍數(shù)的全體構(gòu)成一數(shù)集，它對(duì)于加、減法是封閉的，但對(duì)于除法不封閉。 返回 8 167。 011 axaxannnn ????? ?naaa , 10 ?10 注： x 代表未知量或符號(hào)（如矩陣）。 零多項(xiàng)式不定義次數(shù) 。 帶余除法 整除 整除的性質(zhì) 21 帶余除法 對(duì)于 P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x)與 g(x)，其中 ，一定有 P[x]中的多項(xiàng)式 q(x),r(x)存在，使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) （１） 成立，其中 或者 r(x)=0,并且這樣的 q(x),r(x)是唯一的。對(duì) f(x)的次數(shù) n作第二數(shù)學(xué)歸納法 0)( ?xg))(())(( xgxr ???0)( ?xf22 當(dāng) nm時(shí)，顯然取 q(x)=0, r(x)=f(x), (1)式成立。對(duì)于后者，取 ；對(duì)于前者，由歸納法假設(shè)，對(duì) 有 存在使 mn bxax ,)(1 xgaxb mn ??)()()( 11 xgaxbxfxf mn ????0)(,)( 1 ?? ?? xraxbxq mn)(),(1 xgxf )(),(11 xrxq23 其中 或者 。這就證明了 q(x)稱為 g(x)除 f(x)的 商 ， r(x)為 余式 ))()(())(())()(( xrxrxgxqxq ?????????))()(())(( xrxrxg ?????)()(),()( xrxrxqxq ????26 例題 | | |_____________ | | | |_____________ | 3 2 23 4 5 6 , 3 1f x x x g x x? ? ? ? ? ? ?132 ?? xx 654323 ??? xxx6813 2 ?? xx731 ?xx3xxx 393 23 ??13?133913 2 ?? xx()( 3 1 3 ) ( ) ( 3 1 7 )fxx g x x? ? ? ?27 定義５ 數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 g(x)稱為 整除 f(x),如果有數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 h(x)使得 f(x)=g(x)h(x) 成立。但 g(x)|f(x)中， g(x) 可以為 0。 兩多項(xiàng)式的整除關(guān)系不因系數(shù)域的 擴(kuò)大 而改變。 P[x]中的 多項(xiàng)式 d(x)稱為 f(x),g(x)的一個(gè) 最大公因式 ， 如果它滿足下列兩個(gè)條件： （ 1） d(x)是 f(x),g(x)的公因式； （ 2） f(x),g(x)的公因式全是 d(x)的因式。 事實(shí)上： 如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（ 1）， p(x)|f(x). 反過來，如果 p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它們的線性組合 r(x)=f(x)q(x)g(x) 由此可見， 如果 g(x),r(x)有一個(gè)最大 公因式 d(x)，那么 d(x)也是 f(x),g(x)的一個(gè) 最大公因式。 輾轉(zhuǎn)相除法 )(xrs )(xrs )(1 xrs?)(xrs41 由上面的倒數(shù)第二等式，我們有 再由倒數(shù)第三式，將 帶入上式， 消去 用同樣的方法 ,逐個(gè)消去 再合并得到 輾轉(zhuǎn)相除法 )()()()()( xgxvxfxuxr s ??)()()()( 12 xrxqxrxr ssss ?? ??)(1 xrs?)(1 xrs?)(,),( 12 xrxr s ??42 如果 都是 f(x)與 g(x)的兩個(gè)最大公因式，那么一定有 與 ,也就是 ,c≠， 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式在可以相差一個(gè)非零常數(shù)的情況下是唯一確定的 。 兩個(gè)多項(xiàng)式互素當(dāng)且僅當(dāng)除零次多項(xiàng)式外沒有其它公因式。 45 互素多項(xiàng)式的性質(zhì) 定理 4 如果 (f(x),g(x))=1。 證明 由 有 因?yàn)? ,且 ,所以定理 4有 , 即 帶入上式得 即 )(|)()( 21 xgxfxf)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf1))(),(( 21 ?xfxf)(|)(1 xgxf )()()( 11 xhxfxg ?)()(|)( 112 xhxfxf 1))(),(( 21 ?xfxf)(|)( 12 xhxf)()()( 221 xhxfxh ?)()()()( 221 xhxfxfxg ?)(|)()( 21 xgxfxf47 d(x)稱為 (s=2)的一個(gè)最大公因式，如果 d(x)滿足下面的性質(zhì)： （ 1） 。 5 因式分解定理 不可約多項(xiàng)式 因式分解定理 標(biāo)準(zhǔn)分解式 50 不可約多項(xiàng)式 因式分解因系數(shù)域的不同而不同。 一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式 。由此可見， 不可約多項(xiàng)式 p(x)與任一多項(xiàng)式 f(x)之間只可能有兩種關(guān)系，或者 p(x)|f(x)，或者(p(x),f(x))=1。 54 利用歸納法，這個(gè)定理可以推廣為： 如果不可約多項(xiàng)式 p(x)整除一些多項(xiàng)式 f1(x),f2(x),…,fs(x) 的乘積 f1(x)f2(x)…fs(x), 那么 p(x)一定整除這些多項(xiàng)式中的一個(gè)。對(duì) f(x)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。 nxf ?? ))((如果 f(x)是不可約多項(xiàng)式，結(jié)論顯然成立，不妨設(shè) f(x)不是不可約的，即有 其中 的次數(shù)都低于 n。設(shè) f(x)可分解成兩種不可約多項(xiàng)式的乘積： )(2 xf)(1 xf)(),( 21 xfxf)()()()()()()()(2121xqxqxqxfxpxpxpxfts????58 于是有： 我們對(duì) s作數(shù)學(xué)歸納法。 (3) )(1 xq)()()()( 2112 xqxqcxpxp ts ?? ??60 并且適當(dāng)排列次序后有 （ 2）（ 3）（ 4）合起來即為所證。 對(duì)