【正文】 的根，這個方程的有理根只有 x=1。 證明 設(shè)整系數(shù)多項式有分解式 f(x)=g(x)h(x) 其中 g(x),h(X)是有理系數(shù)多項式，且 ))(())(()),(())(( xfxhxfxg ??????100 ? 令 這里 都是本原多項式， a是整數(shù)， r,s是有理數(shù)，于是 由定理 10， 是本原多項式，從而 rs=177。 用反證法 。 １的公因子。 ? )()()(1 xfxxf ???)(1 xf? ??? ?)())(()( 2 xfxxxf ?? ????????? ?????? xxxx )())(( 2)(2 xf87 由歸納假定， 或 可以分解成一次與二次不可約多項式的乘積，因而 f(x)也可以如此分解 )(1 xf )(2 xf在實數(shù)域上， 不可約實多項式只有兩種 （ 1）一次實多項式 （ 2）二次實多項式中滿足 22 , 4 0x px q p q? ? ? ?88 實系數(shù)多項式具有標準分解式： 其中 全是實數(shù)， 是正整數(shù)， 并且 在實數(shù)域上是不可 約即適合 rskrrklslnqxpxqxpxcxcxaxf)()()()()(2112111?????????rrs qqppcc , 111 ???rs kkll , 11 ??),2,1(2 riqxpx ii ????riqp ii ,2,1,042 ????BACK 89 167。 證明 定理對一次多項式顯然成立。 ８ 復系數(shù)多項式 實系數(shù)多項式 復系數(shù)多項式 實系數(shù)多項式 在復數(shù)域上證明多項式整除 81 復系數(shù)多項式的因式分解 對于復數(shù)域，我們有： 代數(shù)基本定理 每個次數(shù) ≥１的 復系數(shù) 多項式在復數(shù)域中都有一個根。由上推論及根重數(shù)定義， f(x)在 P上根的個數(shù)等于分解式中一次因式的個數(shù)，這個個數(shù)當然不會超過n。 定理７ （余數(shù)定理）用一次多項式 去除多項式 f(x)。這在求解方程根時很有用。 證明 由假設(shè)， f(x)可分解為 其中 p(x)不能整除 g(x)。 BACK 64 167。且 現(xiàn)在設(shè)不可約因式的個數(shù)為 s1時唯一性已證。 當 n=1時結(jié)論成立。 證明 如果 p(x)|f(x),那么結(jié)論已經(jīng)成立。下面我們討論數(shù)域 P上的多項式環(huán) P[x]中多項式的因式分解 。 證明 由 (f(x),g(x))=1可知，有 u(x),v(x)使 u(x)f(x) +v(x)g(x) =1 等式兩邊乘 h(x)，得 u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因為 f(x)|g(x)h(x),所以 f(x)整除等式左端，從而 f(x)|h(x) 。 例 （ 15）看書。 兩個零多項式的最大公因式是 0。 事實上 ：由 g(x)|f(x), 有 f(x)=h(x) g(x) 由 f(x)|g(x)，有 g(x)=t(x) f(x),所以 f(x)=h(x)t(x)f(x) 若 f(x)=0,則 g(X)=0,成立；若 f(x)?0, 由上式有 h(x)t(x)=1 從而 所以 h(X)為非零常數(shù)。由歸納法定理，對任意的 的存在性就證明了。 以下設(shè) 。 iixaia)(),( xgxf ,fg11 定義 3 如果在多項式 f(x)與 g(x)中，除去系數(shù)為零的項外，同次項的系數(shù)全相等，那么 f(x)與 g(x)就稱為 相等 ，記為 f(x)=g(x)。 事實上，設(shè) P 是一個數(shù)域，由定義， 1+1=2， 2+1=3， … ， n+1=n+1,… 全屬于 P ，再由 P 對減法的封閉性， on=n，也屬于 P ，因而 P 包含全體整數(shù)。 2ba ?)2(Q4 證明 顯然 包含 0和 1并且對于加減法是封閉的。 數(shù)：自然數(shù) → 整數(shù) → 有理數(shù) → 實數(shù) → 復數(shù)。 4 最大公因式 167。 3 整除的概念 167。本章介紹多項式的基本知識。 通常用 來表示這個數(shù)域。 27 重要性質(zhì) ： 所有的數(shù)域都包含有理數(shù)作為他的一部分。 稱為 i 次項 , 稱為 i 次項的系數(shù) 多項式用 或 來表示。 證明 用歸納法來敘述 如果 f(x)=0,取 q(x)=r(x)=0即可。于是 即有 使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立。這時 當 g(x) 不等于 0時，有時用 表示 f(x) 被 g(x) 整除 ( ) | ( )g x f x( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0f x g x h x h x? ? ?()()fxgx29 結(jié)論 : (1) f(x)|f(x) (2) f(x)|0 (3) a|f(x) (a 不等于 0） 30 性質(zhì)１、 f(x)|g(x), g(x)|f(x), 則 f(x)=cg(x).其中 c為非零常數(shù)。 )(x?)(x?35 如 ： f(x)是 f(x)， 0的最大公因式。 用 (f(x),g(x)) 表示兩個非零多項式首項系數(shù)是 1的哪個最大公因式。且 f(x)|g(x)h(x),那么 f(x)|h(x)。如在有理數(shù)域上 在數(shù)域 上 在復數(shù)域上 由此可見，必須明確系數(shù)域后，所謂不能再分才有確切涵義。 53 定理 5 如果 p(x)是不可約多項式，那么對于任意的兩個多項式 f(x),g(x)，由p(x)|f(x)g(x)一定推出 p(x)|f(x)或者 p(x)|g(x)。設(shè) 。當 s=1時， f(x)是不可約多項式，由定義必有 s=t=1。 整數(shù)的因式分解理論能夠類似得到。 n+1階微商呢？ 0111)( axaxaxaxf nnnn ????? ?? ?1211 )1()( axnanxaxf nnnn ?????? ??? ?68 )()())(()()()()())()(()())(()()())()((1xfxmfxfxgxfxgxfxgxfxfcxcfxgxfxgxfmm??????????????????微商公式 69 重因式的判別方法 定理 6 如果不可約多項式 p(x)是 f(x)的 k重因式（ k≥1)那么是微商 的 k1重因式。 設(shè) f(x)具有標準分解式 )(xf?)(xf ?)()()()( 21 21 xpxpxcpxf srsrr ??72 則由定理 6有： 于是 這是一個沒有重因式的多項式，但是它與f(x)具有相同的不可約多項式，這是一個去 掉因式重數(shù)的有效方法。 nnn axaxaxf ???? ? ?110)(?nnn aaaf ???? ? ?110)( ?????x75 由帶余除法我們得到下面的余數(shù)定理。 n≥1時， f(x)可分解為 P[x]上不可約多項式的乘積。 )1,2,1(0)()( ???? nigf ii ???121 , ?n??? ?)1,2,1()()( ??? nigf ii ???BACK 80 167。因為 兩邊取共軛有 110( ) 0nnnnf a a a? ? ? ??? ? ? ? ?85 實系數(shù)多項式的因式分解定理 每個 次數(shù) ≥１的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一地分解為一次因式與二次不可約因式的乘積。從而 是 n2次實系數(shù)多項式。 如果 cf(x)的各項系數(shù)有公因子，可以提出來，得到 cf(x)=dg(x) 即 0111)( axaxaxaxf nnnn ????? ?? ?)()( xgcdxf ?其中 g(x)是整系數(shù)多項式， 且各項系數(shù)沒有異于 177。 證明 設(shè) 是兩個本原多項式， 011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?011)( bxbxbxg mmmm ???? ?? ?96 而 是它們的乘積。 ??????????????????22112211jijijijijijibababababadjid?jibajiba99 定理 11 如果一非零的整系數(shù)多項式 能夠分解成兩個次數(shù)較低的有理系數(shù) 多項式的乘積，那么它一定能分解成 兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式的乘積。根據(jù)上述推論 式中 都是整數(shù)，比較兩邊系數(shù) sr)(|)( xfsrx ?))(()( 011 bxbrsxxf nn ???? ?? ?01 , bb n ??104 則得 因此 ? 例１ 求方程 的有理根。 kb因為 所以 p整除