【正文】 )(0)()()()(0)()()()(111211213?????????????????xrxqxrrxrxrxqxrrxrxrxqxrsssssssssssss40 根據(jù)前面的結(jié)論， 是 與 的一個最大公因式； 同樣的理由，逐步推上去， 就是 f(x)與 g(x)的一個最大公因式?，F(xiàn)在設(shè)有 u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 而 d(x)是 f(x)與 g(x)的一個最大公因式。 用 來表示首項系數(shù)為 1的最大公因式。 52 不可約多項式 p(x)的因式只有非零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍 cp(x)(c≠0)這兩種。所謂唯一地是說，如果有兩個分解式 那么必有 s=t，并且適當(dāng)排列因式的次序后有 其中 是一些非零常數(shù)。把 的分解式合并起來就得到 f(x)一個分解式。 )()()()( 21 21 xpxpxcpxf srsrr ??)(,),(),( 21 xpxpxp s?srrr , 21 ?62 如果已經(jīng)有了兩個多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，那么 f(x),g(x)的最大公因式 d(x)就是同時出現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)分解式中的不可約多項式方冪的乘積，所帶的方冪指數(shù)為兩標(biāo)準(zhǔn)分解式中較小的一個。 指數(shù) 為單因式， 為重因式。 )(,),(),( )1( xfxfxf k ?? ?)()( xf k71 推論２ 不可約多項式 p(x)是 f(x)的重因式 的充分必要條件為 p(x)是 f(x)和 的公因式。 設(shè) （１） 是 p[x]中的多項式， 是 P中的數(shù) 稱為 f(x)當(dāng) 時的值 。當(dāng) k=1時， 稱為 單根 ；當(dāng) k1時， 稱為重根。 證明 由定理條件，有 即多項式 f(x)g(x)有 n+1個不同的根。 82 因此，復(fù)系數(shù)多項式有標(biāo)準(zhǔn)分解式 其中 是不同的復(fù)數(shù)， 是正整數(shù)。 ?86 如果 是實數(shù)，那么 其中 是 n1次多項式。 本節(jié)我們主要給出有理系數(shù)多項式的兩個重要事實： 91 第一 有理系數(shù)多項式的因式分解問題可以歸結(jié)為整系數(shù)多項式的因式分解問題，并進(jìn)而解決有理系數(shù)多項式求有理根的問題。且這種分解除相差一個正負(fù)號是唯 一的。令 是第一個不能被整除的系數(shù)，即 同樣， g(x)也是本原的，令 是第一個不能被 p整除的系數(shù)，即 現(xiàn)在來看 h(x)的系數(shù) ，由乘法定義 iaii apaap |,| 10 ??jbjj bpbbp |,| 10 ??jid?98 ? 由假設(shè)， p整除左端 ，整除右端 以外的每一項，但 p不能整除 。 )())(()( 11 xhxrsgxf ?)(1 xrsg )(1 xh102 定理 12 設(shè) 是一個整系數(shù)多項式，而 是它的一個有理根，其中 r,s互素，那么必有 sr011)( axaxaxf nnnn ???? ?? ?0|,| aras n特別地，如果 f(x)的首相項系數(shù) 那么 f(x)的有理根都是整數(shù)，而且是 的因子 。 １全不是它的根， 因而 f(x)沒有有理根， 即在有理數(shù)域上不可約。 kxkkkk cbcbcba 0110 ???? ? ?01 , bba kk ??0cbk kb0c110 對任意的 n，多項式 在 有理數(shù)域上是不可約的。 0| ap 0b 0c 02 | ap0b 0c0| bp 0| cp109 比較 f(x)中 的系數(shù)，得 式中 都能被 p整除，所以 也必須被 p整除，而 p是素數(shù)，所以 與 至少有一個被 p整除。 15)( 3 ??? xxxf因 f(x)的有理根只可能是 177。因此有 )()(),()(),()( 111 xshxhxrgxgxafxf ???)(),(),( 111 xhxgxf)()()( 111 xhxrsgxaf ?)()( 11 xhxg101 ? 這里 與 都是整系數(shù)多項式，且次數(shù)都低于 f(x)的次數(shù)。 １的公因子， 即有一個素數(shù) p整除 h(x)的每個系數(shù)。 １的公因子， 即它們是互素的，它就稱為一個 本原多項式 。 但是對于任一個給定的多項式，要具體分解卻很復(fù)雜，即使在判斷一個有理系數(shù)多項式是否可約也不是容易的。 設(shè) f(x)是 n次實系數(shù)多項式。也可敘述為： 每個次數(shù) ≥１的復(fù)系數(shù)多項式，在復(fù)數(shù)域上一定有一個一次因式 。不同的多項式會不會定義相同的函數(shù)呢？即是否存在 f(x) ≠g(x) 而對于 P中的所有數(shù) 都有 ？ )()( ?? gf ??定理 9 說明：不同的多項式定義不同的函數(shù)。 證明 所以 如果 ，那么 就稱為 f(x)的一個 根或 零點 。 ７ 多項式函數(shù) 多項式函數(shù)的定義 余數(shù)定理 多項式的根 重根 多項式根的個數(shù) 不同多項式定義不同的函數(shù) 74 多項式函數(shù) 以上，我們把多項式作為形式表達(dá)式來考慮。這說明 ，但 不能整除 .所 以 p(x)是 的 k1重因式。 如果 k=1，那么 p(x)稱為 f(x)的 單因式 ； 如果 k1，那么 p(x)稱為 f(x)的 重因式 。 (3) )(1 xq)()()()( 2112 xqxqcxpxp ts ?? ??60 并且適當(dāng)排列次序后有 （ 2）（ 3）（ 4）合起來即為所證。 nxf ?? ))((如果 f(x)是不可約多項式，結(jié)論顯然成立，不妨設(shè) f(x)不是不可約的，即有 其中 的次數(shù)都低于 n。 54 利用歸納法，這個定理可以推廣為： 如果不可約多項式 p(x)整除一些多項式 f1(x),f2(x),…,fs(x) 的乘積 f1(x)f2(x)…fs(x), 那么 p(x)一定整除這些多項式中的一個。 一次多項式總是不可約多項式 。 證明 由 有 因為 ,且 ,所以定理 4有 , 即 帶入上式得 即 )(|)()( 21 xgxfxf)(|)(),(|)( 21 xgxfxgxf1))(),(( 21 ?xfxf)(|)(1 xgxf )()()( 11 xhxfxg ?)()(|)( 112 xhxfxf 1))(),(( 21 ?xfxf)(|)( 12 xhxf)()()( 221 xhxfxh ?)()()()( 221 xhxfxfxg ?)(|)()( 21 xgxfxf47 d(x)稱為 (s=2)的一個最大公因式，如果 d(x)滿足下面的性質(zhì)： （ 1） 。 兩個多項式互素當(dāng)且僅當(dāng)除零次多項式外沒有其它公因式。 事實上： 如果 p(x)|g(x),p(x)|r(x), 那么由（ 1）， p(x)|f(x). 反過來，如果 p(x)|f(x),p(x)|g(x)，那 么p(x)一定整除它們的線性組合 r(x)=f(x)q(x)g(x) 由此可見， 如果 g(x),r(x)有一個最大 公因式 d(x)，那么 d(x)也是 f(x),g(x)的一個 最大公因式。 兩多項式的整除關(guān)系不因系數(shù)域的 擴(kuò)大 而改變。這就證明了 q(x)稱為 g(x)除 f(x)的 商 ， r(x)為 余式 ))()(())(())()(( xrxrxgxqxq ?????????))()(())(( xrxrxg ?????)()(),()( xrxrxqxq ????26 例題 | | |_____________ | | | |_____________ |