【正文】 這是一個(gè)矛盾。 １， 直接驗(yàn)證可知 177。 ? 推論 設(shè) f(x),g(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式，且 g(x)是本原的，如果 f(x)=g(x)h(x)，其中 h(x)是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么 h(x)一定是整系數(shù)多項(xiàng)式。 01 , ddd mnmn ????97 因?yàn)?f(x)是本原的，所以 p不能同時(shí)整除f(x)的每一個(gè)系數(shù)。 任何一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式 f(x)都可以分解為一 個(gè)有理數(shù) r與一個(gè)本原多項(xiàng)式 g(x)的乘積，即 f(x)=rg(x)。而在復(fù)數(shù)域上只有一次多項(xiàng)式不可約；在實(shí)數(shù)域上不可約多項(xiàng)式只有一次和某些二次。由代數(shù)基本定理， f(x)有一復(fù)根 。 復(fù)數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理 每個(gè)次數(shù) ≥１的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一分解成一次因式的乘積。 數(shù)域上的多項(xiàng)式既可以作為形式表達(dá)式， 也可以作為函數(shù)來處理 . 79 定理９ 如果多項(xiàng)式 f(x),g(x)的次數(shù)都不超過 n，而它們對(duì) n+1個(gè)不同的數(shù) 有相同的值，即 那么 f(x)=g(x)。 x ??()f ?( ) ( ) ( )f x x q x c?? ? ?()cf ??( ) 0f ? ? ?76 推論 是 f(x)的根的充分必要條件是 稱為 f(x)的 k重根 ， 如果 是 f(x)的 k重因式。下面我們把多項(xiàng)式看為函數(shù)。 )(|)(1 xfxp k ?? )(xpk )(xf ?)(xf?推論１ 如果不可約多項(xiàng)式 p(x)是 f(x)的 k重 因式（ k≥1)，那么 p(x)是 的因式， 但不是 的因式。 )(|)( xfxp k 1 ( ) | ( )kp x f x? ?66 f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為： 那么 分別是 f(x)的 重， 重， … ， 重因式。 ( ) ( ) ( 2 , 3 , , ) ( 4)i i ip x c q x i s??61 多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 其中 c是 f(x)的首項(xiàng)系數(shù)， 是不同的首項(xiàng)系數(shù)為 1的不可約多項(xiàng)式，而 是正整數(shù)。 )()()( 21 xfxfxf ?)(),( 21 xfxf57 由歸納法假設(shè) 和 都可以分解成數(shù)域 P上的一些不可約多項(xiàng)式的乘積。 55 因式分解唯一性定理 數(shù)域 P上每一個(gè)次數(shù) ≥1的多項(xiàng)式 f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域 P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積。一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域的 。 (2) 如果 ,那么p(x)|d(x)。 互素多項(xiàng)式 44 定理 3 P[x]中兩個(gè)多項(xiàng)式互素的充分必要條件是有 P[x]中的多項(xiàng)式 u(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 證明 必要性是定理 2的直接推論。 37 定理 2 對(duì)于 P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x),g(x),在 P[x]中存在一個(gè)最大公因式 d(x)，且 d(x)可以表示成 f(x),g(x)的一個(gè)線性組合，即有 P[x]中多項(xiàng)式 u(x),v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) 證明 如果 f(x),g(x)有一個(gè)為零，譬如說，g(x)=0,那么 f(x)就是一個(gè)最大公因式，且 f(x)=1 f(x) +1 0 38 下面看一般情形。 rixgxf i ,2,1),(|)( ??)]()()()()()([|)( 2211 xgxuxgxuxgxuxf rr??? ?BACK 33 167。 “g(x)|f(x)”表示 整除 ， g(x)稱為 f(x)的 因式 ， f(x)稱為 g(x)的 倍式 ； g(x) f(x)表示 不能整除 。 當(dāng) n≥m時(shí)，假設(shè)當(dāng) f(x)的次數(shù)小于 n時(shí)，q(x),r(X)的存在已證。 )0( ?nnn axana))(( xf?12 運(yùn)算 ： 加法 ： 如 n≥m，為方便，在 g(x)中令 ， 對(duì)于加減法： ??????mjjjniii xbxgxaxf00)(,)(011 ???? ?? mnn bbb ??????niiii xbaxgxf0)()()())(),(m a x()( gfgf ?????13 001001111)()()()(baxbabaxbabaxbaxgxfmnmnmnmnmn??????????????? ??? ???nmsssjiji xba0)(乘積 14 ? 對(duì)于乘法 ：如果 那么 ，且 數(shù)域 P上的兩個(gè)多項(xiàng)式經(jīng)過加、減、乘運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍是數(shù)域 P上的多項(xiàng)式 0)(,0)( ?? xgxf0)()( ?xgxf))(())(())()(( xgxfxgxf ?????15 運(yùn)算規(guī)律 ： 加法交換律： f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 加法結(jié)合律： (f+g)+h=f+(g+h) 乘法交換律： f(x)g(x)=g(x)f(x) 16 乘法結(jié)合律 (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(X)h(x)) 事實(shí)上 ： ?????????lkkkmjjjniii xchxbgxaf000,17 左邊， f(x)g(x)中 s次項(xiàng)的系數(shù)為 因此左邊 t次項(xiàng) 的系數(shù)為 ??? sjijiba?? ?????? ???tkjikjitks sjikji cbacba )(18 ?? ?????? ???tkjikjitri rkjkji cbacba )(因此右邊 t次項(xiàng) 的系數(shù)為 左邊 =右邊。 2 一元多項(xiàng)式 一元多項(xiàng)式的定義 基本運(yùn)算及其規(guī)律 9 基本定義 給定數(shù)域 P， x是一個(gè)符號(hào) 。 例 2 所有 可以表成 形式 的數(shù)組成一數(shù)域，其中 n,m為任意非負(fù)整數(shù)， 是整數(shù)。有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)對(duì)這四種運(yùn)算都是封閉的。 7 多項(xiàng)式函數(shù) 167。1 第一章 多項(xiàng)式 167。 8 復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解 167。有其它一些數(shù)集也具有這樣的性質(zhì)，引入： 3 定義一 設(shè) P 是由一些復(fù)數(shù)組成的集合，其中包括 0 和 1 ，如果 P 中任意兩個(gè)數(shù)（這兩個(gè)數(shù)也可以相同 ） 的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是 P 中的數(shù)，那么 P 就稱為一個(gè) 數(shù)域。 )2(Qmmnnbbbaaa????????????1010),1,0。 定義 2 設(shè) n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)。 右邊， g(x)h(x)中 r次項(xiàng)的系數(shù)為 ??? rkjkj cb19 乘法對(duì)加法的分配律 f(x)(g(x)+h(x))=f(X)g(X)+f(X)h(X) 乘法消去律： f(x)g(x)=f(x)h(x),且 ,那么 g(x)=h(X) 定義 4 所有系數(shù)在數(shù)域 P中的多項(xiàng)式的全體，稱為數(shù)域 P上的 一元多項(xiàng)式環(huán)， 記為 P[x], P稱為 P[x]的 系數(shù)域 0)( ?xfBACK 20 167?，F(xiàn)看次數(shù)為 n的情形。 28 定理１ 對(duì)于數(shù)域 P上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x),g(X)， 其中 的充分必要條件是 g(x)除 f(x) 的余式為零。 4 最大公因式 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式 兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式求法 兩個(gè)多項(xiàng)式互素 互素多項(xiàng)式的性質(zhì) 多個(gè)多項(xiàng)式的情況 34 最大公因式 如果 既是 f(x)的因式，又是 g(x)的因式，那么就稱 為 f(x)和 g(x)的 公因式 。無妨設(shè) g(x) ≠0. 按帶余除法有： 0)()()()( 111 ??? rxrxgxqxf0)()()()( 2212 ??? rxrxrxqxg39 其中 ??????? )()()( 21 rrg0)()()()( 33231 ??? rxrxrxqxr????????????????????0)()()()( 12 ??? ?? iiiii rxrxrxqxr0)()(