【正文】 ularity of deformation Distribution regularity of stress Establish the formula 變形幾何關(guān)系 物理關(guān)系 靜力關(guān)系 觀察變形， 提出假設(shè) 變形的分布規(guī)律 應(yīng)力的分布規(guī)律 建立公式 physical relationship static relationship 一、 純彎曲時(shí)的正應(yīng)力 Ⅰ 、實(shí)驗(yàn)（ Experiment） （ Deformation phenomenon ) 縱向線(xiàn) 且靠近頂端的縱向線(xiàn)縮短， 靠近底端的縱向線(xiàn)段伸長(zhǎng) . 相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度， 仍與變形后的縱向弧線(xiàn)垂直 . 各橫向線(xiàn)仍保持為直線(xiàn)， 各縱向線(xiàn)段彎成弧線(xiàn)， 橫向線(xiàn) ( Assumptions） （ a）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面 變形后仍保持為平面且垂直于變形 后的梁軸線(xiàn)； （ b）單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠 壓，只受單向拉壓 . 推論：必有一層變形前后長(zhǎng)度不變的纖維 — 中性層 中性軸 橫截面對(duì)稱(chēng)軸 中性軸 橫截面對(duì)稱(chēng)軸 ⊥ 中性層 dx 圖（ b） y z x O 應(yīng)變分布規(guī)律： 直梁純彎曲時(shí)縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離成正比 . 圖（ a） dx Ⅱ 、變形幾何關(guān)系（ Deformation geometric relation ） 圖（ c） qdz y x O’ O’ b’ b’ y b b O O xbb d? OO? 39。 剪力 對(duì)所考慮的一端曲桿內(nèi)一點(diǎn)取矩 產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正 。 內(nèi)力圖符號(hào)的規(guī)定 (Sign convention for internal force diagrams) 例題 18 圖示為下端固定的剛架 .在其軸線(xiàn)平面內(nèi)受集中力 F1 和 F2 作用，作此剛架的內(nèi)力圖。軸力 (axial force). A B C Ⅰ. 平面剛架是由在同一平面內(nèi) ,不同取向的桿件 ,通過(guò)桿端 相互剛性連結(jié) (剛節(jié)點(diǎn) )而組成的結(jié)構(gòu)。 （ 2）將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡(jiǎn)單拼湊） 例 16 懸臂梁受集中荷載 F 和均布荷載 q 共同作用 ,試按疊加原理作此梁的彎矩圖 x F=ql/3 q l x F=ql/3 q l 解 : 懸臂梁受集中荷載 F=ql/3 和均布荷載 q 共同作用， 在距左端為 x 的任一橫截面上的彎矩為 2)(2qxFxxM ??F x q x F 單獨(dú)作用 FxxM F ?)(q單獨(dú)作用 2)(2qxxM q ??F,q 作用該截面上的彎矩等于 F, q 單獨(dú)作用該截面上的彎矩的代數(shù)和 2)(2qxFxxM ??F x F q x l q x + FxxM F ?)(Fl2)(2qxxM q ??22ql+ 62ql2l/3 l/3 62ql2 18ql例題 17 圖示一外伸梁， a = 425mm , F F2 、 F3 分別為 685 kN,575 kN,506 疊加原理作此梁的彎矩圖 ,求梁的最大彎矩 . B C F2 F3 a D E F1 A a a a 解：將梁上荷載分開(kāi) F1 291 a c e b d F2 e 122 + a c b d 215 a c e b d F3 a a a a mkN1312152112229121 ???????? )()(M CB C F2 F3 a D E F1 A a a a 122 + a c e b d 291 215 131 a c e b d 291 a c e b d 215 a c e b d (Internal forces for plane frame members) 剪力 (shear force )。m ( ) Me 在 A處有集中力偶 (2)作荷載圖 0?M A 左 mkN40 ??右AM40KNm A E C D K B FA FB MA q=20kN/m 例題 14 已知簡(jiǎn)支梁的剪力圖 ,作梁的荷載圖和彎矩圖 .已知梁上沒(méi)有集中力偶作用 . a b c d 18kN 2kN 14kN 3m 3m 6m + 解 : (1)畫(huà)荷載圖 AB 段 沒(méi)有分布荷載，在 B處有集中力 所以 F=20kN 方向向下 ()Q ?dd qxx18kNBQ ?左2 k NBQ ??右 C A B D F=20kN BC 段 無(wú)分布荷載 CD 段 有均布荷載 q ( ? ) ()Q ?dd qxx? ? ?? d6dDC c q x qk N / m26 )2()14( ??????qa b c d 18kN 2kN 14kN 3m 3m 6m + q=2kN/m C A B D F=20kN (2)彎矩圖 AB段 向右上傾斜的直線(xiàn) d ( ) ()dMx Qxx ?()Q? ? ?? dbBA aM M x xmkN543180 ????BC段 向右下傾斜的直線(xiàn) . a b c d 18kN 2kN 14kN 3m 3m 6m + ( ) d ( ) cCB b Q x xMM ? ? ? ? ? ? ?? 54 2 3 48 k N mCD段 向上凸的二次拋物線(xiàn) .該段內(nèi)彎矩沒(méi)有極值 . 0?M d48 d a b 54 c + 例題 15 已知簡(jiǎn)支梁的彎矩圖 ,作出梁的剪力圖和荷載圖 . AB段 因?yàn)? M(x) = 常量 ,剪力圖為水平直線(xiàn) ,且 Q(x) = 0 . 40kNm A E C D K B FA FB MA q=20kN/m KB 段 向下傾斜的直線(xiàn) DK段 向上凸的二次拋物線(xiàn) ? ? ? ?1K BFMMmkN345129 ????在 Q=0 的截面上彎矩有極值 : .? ? ? ?m ax 2 45BM F M 2 ???q? ? ?5 k N mB MM 左0?M B右 31 x + 55 34 5 1 1 1 3 F=50kN M=5kNm A E C D K B FA FB MA q=20kN/m x = 81kN 31kN 29kN + 1 1 1 3 F=50kN M=5kN (1) 剪力圖 AE段 水平直線(xiàn) QA右 = QE左 = FA = 81kN ED 段 水平直線(xiàn) DK 段 向右下方傾斜的直線(xiàn) QK= FB = 29kN QE右 = FA F = 31kN KB 段 水平直線(xiàn) QB左 = FB = 29 kN 81kN 31kN 29kN + 1 1 1 3 F=50kN M=5kNm 例題 13 用簡(jiǎn)易法 (微積分關(guān)系 )作組合梁的剪力圖和彎矩圖 . 1 1 1 3 F=50kN M=5kNm F2=2kN 24 2 042C AqFM ? ? ?3m 4m A B C D E 4m 4m FA FB F1=2kN q=1kN/m M=10kNm F2=2kN 7 k NAF ?5kNBF ? 將梁分為 AC、 CD、 DB、 BE 四段 . （ 2）剪力圖 AC段 向下斜的直線(xiàn) (?) 7 k NAAQF??右 4 3 kNCAQ F q? ? ?左CD段 向下斜的直線(xiàn) ( ? ) 14 1 kNACQ F q F? ? ? ?右 2 3 k NDBQ F F? ? ? ?DB段 水平直線(xiàn) () EB段 水平直線(xiàn) () 3m 4m A B C D E 4m 4m FA FB F1=2kN q=1kN/m M=10kN 或發(fā)生在集中力所在的截面上 。（根據(jù) q(x)＞ 0或 q(x) ＜ 0來(lái)判斷彎矩圖的凹凸性） . M(x)圖為一向上凸的二次拋物線(xiàn) . Q(x)圖為一向右下方傾斜的直線(xiàn) . x Q(x) O (x)、 Q(x)圖、 M（ x） 圖三者間的關(guān)系 Ⅰ .梁上有向下的均布荷載 ,即 q(x)=const 0 M(x) d ( ) ()dQx qxx ?d ( ) ()dMx Qxx ?22d ( ) ()dMx qxx ?Ⅱ .梁上無(wú)荷載區(qū)段， q(x) = 0 剪力圖為一條水平直線(xiàn) . 彎矩圖為一斜直線(xiàn) . 當(dāng) Q(x) 0 時(shí) ,向右上方傾斜 . 當(dāng) Q(x) 0 時(shí) ,向右下方傾斜 . x O M(x) O M(x) x d ( ) ()dQx qxx ?d ( ) ()dMx Qxx ?22d ( ) ()dMx qxx ?x Q(x) O Ⅴ. 梁上 最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè) 。 （ 2）彎矩圖上某點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小 。 例題 9 一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載 F 的作用如圖所示 .試求梁的最大彎矩為極大時(shí)荷載 F 的位置 . A B F l x 解 :先設(shè) F 在距左支座 A 為 x 的任意位置 .求此情況下梁的最大彎矩為極大 . 荷載在任意位置時(shí)，支反力為 ()AF l xFl??BFxFl?當(dāng)荷載 F 在距左支座為 x 的任意位置 C 時(shí)，梁的彎矩為 ()CAF l xM F x xl???令 0dd ?xM C 0)2( ??? xllF2lx ?此結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)移動(dòng)荷載 F 在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大 . 得最大彎矩值 代入式 將 2lx ?()CAF l xM F x xl???FlM 41m ax ? 設(shè)梁上作用有任意分布荷載 其集度 六、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系 (Differential relationships between load,shear force,and bending moment) q = q (x) 規(guī)定 q (x)向上為正 . 將 x 軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 . x y q(x) F M 、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系的推導(dǎo) x y q(x) F M Q(x) M(x) Q (x)+dQ(x) M(x)+dM(x) 假想地用坐標(biāo)為 x 和 x+dx的兩橫截面 mm和 nn從梁中取出 dx 微段 . m m n n q(x) C x+dx 截面處 則分別為 Q(x)+dQ(x) ， M(x)+dM(x) . 由于 dx很小，略去 q(x) 沿 dx的變化 。 、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變 ,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值 .但在此處剪力圖沒(méi)有變化。梁上的 Mmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面 ,或 集中力偶作用處及 Q = 0 的截面處。 ， x 軸向右為正 建立 坐標(biāo)。 bendingmoment equations) 用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線(xiàn)各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱(chēng)作剪力方程和彎矩方程 . (Shear force equation) (Bendingmoment equation) 彎矩圖為正值畫(huà)在 x 軸上側(cè) ,負(fù)值畫(huà)在 x 軸下側(cè) 五、剪力圖和彎矩圖 (Shearforceamp。（稱(chēng)之為簡(jiǎn)便法） A E c QE FA ME E AFcM ??0 , 0EE AFcMM? ? ? ??例題 3 軸的計(jì)例算簡(jiǎn)圖如圖所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN， a = 230mm， b = 100 mm 和 c = 1000 mm. 求 C 、 D 點(diǎn)處橫截面 上的剪力和彎矩 . F2=F A C D B b a c F1=F FA FB 解： （ 1）求支座反力 6 0 k NABFFF? ? ?（ 2）計(jì)算 C 橫截面上的剪力 QC和彎矩 MC 看左側(cè) F2=F A C D B b a c