【正文】 ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????A V a A V b A V ca b cA a A b V c V b A c V a A b A ca b c( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]()? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????V c A a A b V b A c A a V a A b A ca b c由第三章例 8有： ( ) ( ) ( de t ) * ( )( ) ( ) ( de t ) * ( )( ) ( ) ( de t ) * ( )???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A a A b A A a bA c A a A A c aA b A c A A b c代入上式得： { de t ( 。 定理： （ Leibniz法則） 設(shè) F , G , A分別是 r、 s、 p階張量。 )d ?I A V O (O是二階零張量。 r點(diǎn)乘 。 解： ∵ 2 2 3 2 31 2 31 1 1 1( ) 。若 ss iiiiF iiF ?? 11? 11rrj j j jA?A i i， 。 o(|| V ||)是 V的非線性部分。 （ ） 例 8： 設(shè) Ψ、 Φ是二階張量。當(dāng)將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念推廣到一般張量函 )()()()( xOxxfxfxxf ??? ?????式中 O(Δx )表示 Δx的高階小量，當(dāng) Δx趨于零時(shí) O(Δx )趨 于零。 ( )? ? ???AA是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)，將用 A的主不變量表示為： )(0 A?))(),(),(()( 32100 AAAA III?? ?由（ ）式得： 2300( ) ( , , )tr tr tr?? ?A A A A是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)只可能取為： )(0 A?0 () tr???AA∴ F(A)是線性各向同性二階張量值函數(shù)。 ** * * * ( * )? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A Q I Q A Q A Q A Q A Q Q I Q IQ A Q Q A I A Q Q A Q Q A Q Q A Q∴ 20 1 220 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( * )( ) ( * ) ( * ) * ( * ) ( * )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A I A Q A Q A Q A QF Q A Q Q A Q I Q A Q Q A Q Q A Q Q A Q是 A的主不變量 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、 1 2 3( ) ( ) ( )I I IA A A、 、 的函數(shù)。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r221 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )( ) 。 F(A) 是同一個(gè)矢量方向，因此這三個(gè)矢 量相差一個(gè)實(shí)數(shù)乘積。 證： ∵ : * : ( )tr? ? ?A A A A A A由（ ）式中第一和第二式有： 2212( ) [ ( ) ] 2 ( )tr tr I I? ? ? ?A A A A A∴ )(2)]([)(221 AAA IIF ??F(A)是各向同性函數(shù)。, rQrQrQrrr ???或者說(shuō)左邊 F只是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)，而與 r r2 、 r3 不是 F的自變量。當(dāng)且僅當(dāng) F (A)可表示為 A的不變量 I1(A)， I2(A)， I3(A)的函數(shù)： 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F I I I?A A A A （ ） 證： 設(shè) A的特征值為 λ λ2 、 λ3，對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r r r3。則稱(chēng) Φ 是各向同性張量函數(shù)。由實(shí)函數(shù)理論 | x x0 |和 | f (x) – f (x0) |按距離的概念分別代表了實(shí)數(shù) x和 x0 離概念的引入使得一元實(shí)函數(shù)的連續(xù)性可以推廣到張量函 的距離及給定的 x和 x0的函數(shù)值 f (x)和 f (x0)的距離。 ( x )是矢量自變量 的標(biāo)量值函數(shù)。 f (x)就是一元 實(shí)函數(shù)。按第一章第四節(jié)的標(biāo)量積可以 定義 A,B∈ P的標(biāo)量積： 11 1, 。第四章 張量函數(shù)和張量分析 在前面三章中主要對(duì)集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論，并由多 重線性映射引入了張量空間。 ( , , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA B i i? ? ? ? ?A B A B⊙ （ ） 容易證明 ??, 具有下列性質(zhì)： i）對(duì)稱(chēng)性： , , 。 2． r=1， s=0時(shí)： Φ記為 u； F記為 f。函數(shù)可寫(xiě)為： xax ??)(f而對(duì)同一個(gè) a及變矢量 x： kjiijk xae ixa ??式中 f ( )取為法則 a ( ) 。正是距 數(shù)的連續(xù)性定義。對(duì)任意給定的二階正 交張量 Q。則由譜表示定理（ ）式： 333222111 rrrrrrA ??? ???（如果有相等的特征值時(shí)，總存在三個(gè)相互正交的三個(gè)特 征方向。 無(wú)關(guān) 。 證畢。或者說(shuō) r、 F(A) ( )????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?A r A A r A r rA r r A r r∴ 將 2 ( 1 , 2 , 3 )ii i? ? ?A r A r、 ； 代入（ f）式得： ????????????????0)(0)(0)(323231322221321211???????????????（ g） 這是關(guān)于 μ μ μ3的齊次線性代數(shù)方程組。即： 0 0 1 2 31 1 1 2 32 2 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A A AA A A AA A A A由習(xí)題 ： 1 2 31 2 3( * ) ( ( * ) , ( * ) , ( * ) )( ( ) , ( ) , ( ) ) 。則： ( ) ( ) 。這一表達(dá)式中函數(shù)的變化量可看作是兩部分。 Ψ(Φ)是 Φ的二階張量值線性函數(shù)。當(dāng) || V ||→0 時(shí)， o(|| V ||)→0 。試證明： rsrs jjiijjiiAF iiiiAAF ????1111d)(d??? （ ） 證： 由（ ）式： VA AFVL A )(d )(d)( r?? ∵ LA( V )是 r階張量自變量的 s階張量值線性函數(shù)。 ( ) [ ( ) ( ) ] 。 數(shù)量積時(shí)都是張量函數(shù)間的乘積 取為張量 運(yùn)算（這一點(diǎn)與一元實(shí)函數(shù)不同。 ) 當(dāng) r = 1時(shí)。即函數(shù)的數(shù)量積）。 解： 00{ d e t( 。 ∴ 1 1 1 1()s r s ri i j j i i j jdd ??FA i i i iA又 ∵ srs iijjii AF iiAF ??? 111 )()( ?11111111()()srsrsrsri i j ji i j jiijjiijjdddFdFA??????????? ???????FAAAA最后得： ∴ 1111() ssrriii i j jjjFddA???FA i i i iA例 10： 設(shè) F(A)是二階張量自變量的標(biāo)量值各向同性函數(shù)。且記為： ( ) ( 。 解： 由（ ）式得： ( ) ( )ij k l i j ij i j k l k l?? ??i i i i i i Ψ ii∵ 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 3 1 1 2 3 3 1 1 1 3 1 3 2 1 1 3 2 3 3 1 1 3 3() i j i j?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?Ψ i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i∴ 1111 1211 33111 。同時(shí)按這種形式定義的導(dǎo)數(shù)不需要進(jìn)行除 法運(yùn)算。 m tr? ? ? ?? ? ? ?σ i i i i i i σ若 σ m≠ 0 ，且： 0:: ??? ?σAσf 2。 同理可得 F(A)表示為（ ）和（ ）式形式時(shí)是各 向同性函數(shù)。 方程組（ g）的解為： 0321 ??? ???這表明 {I, A, A2}是線性無(wú)關(guān)組。 F(A) 是具有 相同方向的長(zhǎng)度不同的三個(gè)矢量。則 F(A)與 A有相同的單位特征矢量。否則若左邊 F是 r r2 、 r3的函數(shù)，右邊是 12,??Q r Q r3?Qr等式的含義是當(dāng)給定 r r2 、 r3和 的函數(shù)。） ),。 Φ (Ψ )是各向同性的，則定義： )( ΨΦΦ ?且稱(chēng) Φ (Ψ )是 s階張量自變量的 r階張量值各向同性函數(shù)。若對(duì)任意給定的正數(shù) ε ，總存在著 一個(gè)正數(shù) δ 。函數(shù)可寫(xiě)為： xaxf ??)(（ b）對(duì)任意位置矢量 x所標(biāo)定的物體中的點(diǎn)。或稱(chēng) f (u)是 矢量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。 ( ,), rP? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A B C A B A C A B C A B A ABCC⊙ ⊙ ⊙（ ） iii）正定性： , 0 , 0 。但這些代數(shù)運(yùn)算所構(gòu)成的張量 空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)仍無(wú)法對(duì)張量空間點(diǎn)列的收斂性、張量空 間與張量空間的映射及映射的連續(xù)性等進(jìn)行描述。記為 P。 當(dāng) r≤2, s≤2時(shí)有： 1． r=0, s=0時(shí)： Φ 記為 x； F記為 f。 ( ) 。使得當(dāng)所有 x滿(mǎn)足： ??? || 0xx時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)都有： ??? |)()(| 0xfxf則稱(chēng) f (x)在 x0點(diǎn)連續(xù)。則稱(chēng) Φ是 各向同性的 。則： 223 2 2 3( ) ( )( ) ( )???????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?A u uA u A A u A u uA u A A u A u u3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]I I I I I I? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A u A A u A A u A I u A A A u∵ A的特征方程 0)()()( 32213 ???? AAA III ???∴ 3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]() I I I I I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A u A A u A A u A I u A A A A A A I uF A u o又 ∵ u≠0 ∴ OAF ?)(iii） ∵ )()]([])[()()()(1 cbacAbacbAacbaAA??????????????I)()]()[()]([)(])[()()(2 cbacAbAacAbaAcbAaAA?????????????????I取 jiijA iiAicibia ???? , 321 則： 1 1 2 2 3 3。,(),。 例 5： 設(shè) A=A*。由 于 r、 F(A) 由線性無(wú)關(guān)定義可知，只 有當(dāng) μ 1=μ2=μ3= 0時(shí)： OAAI ??? 2321 ???設(shè) λ λ λ 3對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r1, r2, r3。當(dāng)且僅當(dāng)： i） 321 ??? ?? 時(shí)： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ??? （ ） ii） 321 ??? ?? 時(shí)： AAIAAF )()()( 10 ?? ?? （ ） iii） 321 ??? ?? 時(shí)： IAAF )()( 0?? （ ） 其中 λ λ λ3是 A的特征值； 0