【正文】 Q A Q Q A Q Q A Q A Q A Q Q A Q A Q A Q A IQ A Q A Q A Q A Q A Q A I∴ )(* QAFQFQ ???F(A)是各向同性張量函數(shù)。則： 223 2 2 3( ) ( )( ) ( )???????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?A u uA u A A u A u uA u A A u A u u3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]I I I I I I? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A u A A u A A u A I u A A A u∵ A的特征方程 0)()()( 32213 ???? AAA III ???∴ 3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]() I I I I I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A u A A u A A u A I u A A A A A A I uF A u o又 ∵ u≠0 ∴ OAF ?)(iii） ∵ )()]([])[()()()(1 cbacAbacbAacbaAA??????????????I)()]()[()]([)(])[()()(2 cbacAbAacAbaAcbAaAA?????????????????I取 jiijA iiAicibia ???? , 321 則： 1 1 2 2 3 3。當(dāng)且僅當(dāng) F (A)可表示為 A的不變量 I1(A)， I2(A)， I3(A)的函數(shù)： 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F I I I?A A A A （ ） 證： 設(shè) A的特征值為 λ λ2 、 λ3，對應(yīng)的特征矢量為 r r r3。此時取 r1⊥ r2 ⊥ r3。,()( 321321 rrrA ???FF ?∵ F (A) 是各向同性函數(shù)。 , , )F F F ? ? ?? ? ? ?Q A Q A r r r對 A有： 1 1 1 2 2 2 3 3 3。 ( * ) 。 , , ) ( , , ?？偞嬖?Q使得： 1 1 2 2 3 3。,(),。, rQrQrQrrr ???或者說左邊 F只是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)，而與 r r2 、 r3 不是 F的自變量。右邊的 F也只是 λ1,λ2 ,λ3的函數(shù)，而與 321 , rQrQrQ ???無關(guān)。那么等式兩邊的函數(shù)是兩個不同的函數(shù)。因此若要兩邊是同一個函數(shù)，則 F( ，兩個不同 A)只能是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)。 ∴ 1 1 1 2 32 2 1 2 33 3 1 2 3( ( ) , ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A AA A AA A A1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A另一方面 )(),(),( 321 AAA III 是各向同性函數(shù)（見習(xí)題 ）。因此最后得 F(A)是各向同性函數(shù) 時，當(dāng)且僅當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?應(yīng)當(dāng)注意的是： 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A中 F和 F 是同一函數(shù)的不同變量表示。如二元實(shí)函數(shù)： 的函數(shù)形 22( , ) 。 例 5： 設(shè) A=A*。 證： ∵ : * : ( )tr? ? ?A A A A A A由（ ）式中第一和第二式有： 2212( ) [ ( ) ] 2 ( )tr tr I I? ? ? ?A A A A A∴ )(2)]([)(221 AAA IIF ??F(A)是各向同性函數(shù)。 二、對稱二階張量自變量二階張量值各向同性函數(shù) 引理 1： 若 F(A)是二階對稱張量 A的二階張量值各向同性函 數(shù)。 證： 設(shè) A的單位特征矢量為 r，其對應(yīng)的特征值為 λ。 當(dāng) F(A)是各向同性函數(shù)時，對任意正交二階張量 Q有： *)()( QAQFQAFQ ?????當(dāng) Q = R時 ： *)(*)( RARFRAFR ?????∵ * ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )[ 2 ( ) ] ( 2 ) 4 ( ) 2 2 ( )4 2 2 ( )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Q A Q rr I A rr I rr A I A rr Ir r A rr I rr r r rI r A r r A Irr rr r r A A∴ ( ) * ( * ) ( )? ? ? ? ? ?R F A R F R A R F A又 ∵ rRrrR ???? （ a） ∴ ( ) * ( ) 。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A R F A F A RR F A r F A R r R F A r F A r（ b） 同理： ( ) * ( ) 。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A F A R R F A R Rr F A R r R F A r F A R r F A（ c） 由（ a）（ b）（ c）可知 r、 F(A) F(A)都是二階張量 R的特征矢量。由 于 r、 F(A) F(A) 是同一個矢量方向，因此這三個矢 量相差一個實(shí)數(shù)乘積。r 、 r 即： F??? ?? 。)( rrAF（ d） （ e） 將第一式兩邊右點(diǎn)乘 r，第二式兩邊左點(diǎn)乘 r。 0 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r F A r r F A r r r r r將這一結(jié)論代入（ d），（ e）式得： ( ) 。 證畢。當(dāng)： i） ii） iii） 時： {I, A, A2}是線性無關(guān)二階張量組； 321 ??? ??321 ??? ??321 ??? ??時： {I, A}是線性無關(guān)二階張量組； 時： {I}是線性無關(guān)二階張量組。由線性無關(guān)定義可知，只 有當(dāng) μ 1=μ2=μ3= 0時： OAAI ??? 2321 ???設(shè) λ λ λ 3對應(yīng)的特征矢量為 r1, r2, r3。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r221 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )( ) 。其系數(shù)行列 式： 2112 2 2 2 2 22 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 22333 2 2 3 1 3 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 3 13 2 3 1 2 11 ( )1 ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )1 ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?∵ ∴ 321 ??? ?? 0??。 ii） {I, A}是線性無關(guān)組。則： ?????????orAIorAI221121)()(???????????00221211?????? （ h） 。 12 0????方程（ h）的解為： 這表明 {I, A}是線性無關(guān)組。顯然有： orI ???∵ 。 證畢。當(dāng)且僅當(dāng)： i） 321 ??? ?? 時： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ??? （ ） ii） 321 ??? ?? 時： AAIAAF )()()( 10 ?? ?? （ ） iii） 321 ??? ?? 時： IAAF )()( 0?? （ ） 其中 λ λ λ3是 A的特征值； 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、稱張量自變量主不變量的標(biāo)量值函數(shù)。 ** * * * ( * )? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A Q I Q A Q A Q A Q A Q Q I Q IQ A Q Q A I A Q Q A Q Q A Q Q A Q∴ 20 1 220 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( * )( ) ( * ) ( * ) * ( * ) ( * )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A I A Q A Q A Q A QF Q A Q Q A Q I Q A Q Q A Q Q A Q Q A Q是 A的主不變量 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、 1 2 3( ) ( ) ( )I I IA A A、 、 的函數(shù)。 1 , 2 , 3iiiI I II I I i???? ? ? ? ? ? ? ? ???Q A Q Q A Q Q A Q Q A QA A A∴ 2210 *))((*)()(*)( QAQAQAQAIAQAQF ????????? ???顯然有： *)(*)( QAQFQAFQ ?????這表明當(dāng) F(A)表示為（ ）式形式時是各向同性函數(shù)。 若 F(A)是各向性函數(shù)； A是對稱二階張量。且： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3。因此： 333222111 rrrrrr ??? ??作為由 A的特征矢量 r1,r2,r3張量積構(gòu)成的二階張量可由線性 無關(guān)的二張量組 {I, A, A2}線性表示。同理可得（ ）和（ ）式。 例 6： 試求二階對稱張量自變量的各向同性二階張量值線性函數(shù)。由（ ）式： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ???若 F(A)是線性張量函數(shù)。 ( )? ? ???AA是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)，將用 A的主不變量表示為： )(0 A?))(),(),(()( 32100 AAAA III?? ?由（ ）式得： 2300( ) ( , , )tr tr tr?? ?A A A A是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)只可能取為： )(0 A?0 () tr???AA∴ F(A)是線性各向同性二階張量值函數(shù)。t r F? ? ? ?? ? ?F A A I A 、（ ） 例 7： 設(shè) A是四階各向同性張量； 11 1 1 22 2 2 33 3 3 。 ( ) : : ( ) 0mm? ? ?? ? ? ?σ IA σ I試求 f = 0 的 σ 分量表達(dá)式。 : 。 : : 0??I A O I A I因此四階張量 A可表示為： lkjijkiljkikklij iiiiA )](32[21 ??????? ???11 1 1 22 2 2 32 2 211 1 1 1 1 22 2 2 2 2 33 3 3 3 311 22 33 11 1 11: : {( ) : [ 2 3 ( ) ] } :21{ [ 2 3 ( ) ] [ 2 3 ( ) ] [ 2 3 ( ) ] } :2[ ( ) 3 (ij k l ik jl il jk i j k lk l l k l k k l k l l k l k k l k l l k l k k l? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?σ A σ i i i i i i i i i i σi i i i i i σI i i2 2 222 2 2 33 3 3 11 22 33 11 22 332 2 2 2 2 2 211 22 33 11 22 33 11 22 22 33 33 11 11 22 332 2 211 22 22 33 33 11) ] : [ (