【正文】 a x 21 kAV ?由機(jī)械守恒定律 m axm ax VT ?可得系統(tǒng)的固有頻率 mk /0 ??例 4－ 5 求：系統(tǒng)作微振動時的固有頻率。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。 已知：如圖表示一質(zhì)量為 m， 半徑為 r的圓柱體， 在一半徑為 R的圓弧槽上作無滑動的滾動。 4－ 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 阻尼 －－振動過程中的阻力。 dF cv??其中： c－－ 粘性阻力系數(shù) （簡稱為 阻力系數(shù) ） 以阻尼元件 c表示。 在振動過程中作用在物塊上的力有 （ 1）恢復(fù)力 eF? kxF ??e（ 2）粘性阻尼力 dF?txccFx ddd ???? ?物塊的運(yùn)動微分方程為 txckxtxmdddd22???令 mk?20? mc2??－－ 固有角（圓）頻率 0? －－ 阻尼系數(shù) ?0dd2dd 2022??? xtxtx ??－－ 有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解可設(shè)為 rtex ?本征方程 02 202 ??? ?? rr方程的兩個根為 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r通解為 trtr eCeCx 21 21 ?? 0?? ? mkc 2?欠阻尼狀態(tài) 本方程的兩個根為共軛復(fù)數(shù) 2201 i ??? ????r 2202 i ??? ????r220e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?e s i n ( )tx A t? ????? d其中 A和 θ 為兩個積分常數(shù)，由運(yùn)動的初始條件確定。 是否為周期振動呢？ 仍具有振動的特點(diǎn)。 d 212 πl(wèi) n 2 π1iiAΛ TA ??? ? ? ??ζ ζζ )1ζ(0 ?? ?? 臨界阻尼狀態(tài) crc－－ 臨界阻力系數(shù) mkc 2cr ?本征方程的根為兩個相等的實(shí)根 ???1r ???2r微分方程的解為 12e ( )tx C C t????是否具有振動的特點(diǎn)？ 其中 和 為兩個積分常數(shù)， 1C 2C 由運(yùn)動的起始條件決定。 dT求：圓盤所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系 解： 設(shè) ???M ? 為阻力偶系數(shù) 圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動微分方程為 tJk? ? ? ?? ? ? t 0kJJ?? ? ?? ? ?d2t2 π()2TkJJ???2 2 2dd2 4 πtT k J JT? ??220002 π 2 π11 ( )T ? ????? ??d ζ例 4－ 8 求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。 使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動，測得其相鄰兩個振幅比 。 4－ 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動 在外加激振力作用下的振動稱為 受迫振動。 令 齊次方程的通解為 )s in ( 01 ?? ?? tAx設(shè)特解有如下形式 )s in (2 ?? ?? tbx 其中 b為待定常數(shù) 將 代入方程 2x)s i n ()s i n ()s i n ( 202 ???????? ?????? thtbtb220 ?? ?? hb全解為 )s i n ()s i n ( 2200 ?????? ????? thtAx)s i n(dd 2022??? ??? thxt x)s in(dd 2022 ??? ??? thxt x上式表明 無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的。 （ 3）若 0?? ?b為負(fù)值 b取其絕對值， 而視受迫振動 ，與激振力反向 2x隨著激振力頻率 ω 增大，振幅 b 減小。 220 ?? ?? hb)s i n (2202 ????? ???? thx振幅 b與激振力頻率 ω 之間的關(guān)系曲線稱為 振幅頻率曲線 ， 又稱為 共振曲線 。 0?? ?當(dāng) 時 0?? ?沒有意義 微分方程式的特解應(yīng)具有下面的形式 )c o s ( 02 ?? ?? tBtx02/ ?hB ??220 ?? ?? hb代入 )s i n(dd 2022??? ??? thxt x當(dāng) 時，系統(tǒng)共振。 其運(yùn)動圖線如圖所示 它的幅值為 thb02??)c o s (2 002 ??? ??? tthx共振時受迫振動的運(yùn)動規(guī)律為 例 4－ 9 已知：如圖長為 l無重杠桿 OA， 其一端 O 鉸支，另一端 A水 平懸掛在剛度系數(shù)為 k的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有一質(zhì) 量為 m的小球，若在點(diǎn) A 加一激振力 ， 其中激振力的頻率 ， tFF ?s in0?021 ?? ? 0? 為系統(tǒng)的固有頻率 忽略阻尼。 解： 設(shè)任一瞬時剛桿的擺角為 ?系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為 tlFkllm ??? s i n)2( 022 ?????令 mklmkl 4)2( 2220 ???mlFlmlFh 020 4)2(??th ???? s i n20 ????可得上述方程的特解，即受迫振動為 th ???? s i n220 ??將 代入上式 021 ?? ?tklFtmkmlFth????? s i n34s i n4434s i n430020???例 4－ 10 求：當(dāng)電機(jī)以勻速角速度 ω 旋轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。 1m 偏心塊的質(zhì)量為 2m解： 質(zhì)點(diǎn)系動量定理 kxmt ixi ??? )(dd ?kxtextmtxmt ???? )]s i n(dddd[dd 21 ?質(zhì)點(diǎn)系包括電機(jī)和偏心塊。 受迫振動振幅 22122220 )( ???? mmkemhb?????上述振幅表達(dá)式表示的振幅頻率曲線如圖所示 微分方程 temkxxmm ?? s i n)( 2221 ??? ??令 22 ?emH ?2122mmemh?? ?tmmk emthx ?????? s i n)(s i n 221222202 ?????例 4－ 11 求：測振儀中物塊的運(yùn)動微分方程及受迫振動規(guī)律。設(shè)被測物體的振動規(guī)律為 tes ?s in?解： 測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律是 tes ?s in?取 t=0時物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) O 取 x 軸如圖 sx ???st??物塊絕對運(yùn)動的微分方程為 tkekxxm ?s i n????（ a） 物塊的受迫振動形式為 tbx ?s in?此時激振力的力幅為 H=ke b為物塊絕對運(yùn)動的振幅 由于測振儀殼體也在運(yùn)動，其振幅為 e。 167。 受簡諧振動力作用的受迫振動仍然是諧振動。 （ 1）當(dāng) 時 0?? ??當(dāng)作無阻尼受迫振動處理。 20220 212 ????? ????振幅 b具有最大值 maxb這時的頻率稱為 共振頻率。 相位差 ε 隨激振力頻率變化曲線如圖 )s in (2 ?? ?? tbx2202t a n???????例 4－ 12 已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端 l處有 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)，距 2l處有一阻尼器，其阻力系 數(shù)為 c， 距 3l處有一剛度系數(shù)為 k的彈簧。剛桿在水平位置平衡。 0?解： 設(shè)剛桿擺角為 θ ， 振動微分方程為 tlFklclml ???? s i n394 0222 ???? ???tmlFmkmc ???? s i n394 0??? ???令 mlFhmcmk 00329 ??? ， ??0? 即系統(tǒng)的固有頻率。 4－ 6 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈振動的特定轉(zhuǎn)速－－ 臨界轉(zhuǎn)速 。 圓盤角速度為 ，轉(zhuǎn)軸 彎曲偏離原來的固定軸線，點(diǎn) O 為 z軸與圓盤的交點(diǎn)， 。 圓盤慣性力： OCmFI ?? 2?彈性恢復(fù)力： AkrF ?0??mk2202?????erA)(22 ermOCmkr AA ???? ??22??mkemrA ??使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動角速度 －－ 臨界角速度 。 記為 crn167。 主動隔振是將振源與支持振源的基礎(chǔ) 隔離開來。 由振源產(chǎn)生的激振力 隔振： 將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼 元件進(jìn)行隔離。 tHtF ?s in)( ?按有阻尼受迫振動的理論 物塊的振幅為 22220222220 ζ4)1(4)( ssbhb??????????彈簧變形而作用于基礎(chǔ)上的力 )s i n (e ?? ??? tkbkxF通過阻尼元件作用于基礎(chǔ)的力 )c o s (d ??? ??? tcbxcF ?這兩部分力相位差為 90176。 圖為被動隔振的簡化模型 設(shè)地基振動為簡諧振動 tdx ?s in1 ?將引起擱置在其上物體的振動， 這種激振稱為 位移激振。 路面的波形用公式 表示， 12 πsiny d xl?解： x vt?12 π 2 πs in s in vy d x d tll? ? ?令 則 2πvl? ?tdy ?s in1 ?其中 ω 相當(dāng)于位移激振頻率 x以汽車起始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，路面波形方程可以寫為 2 π 2 π 1 2 . 5 m /s 5 π r a d /s5mvl??? ? ?系統(tǒng)的固有頻率為 r a d/ 1000N / m2940 ???? mk?激振頻率與固有頻率的頻率比為 50??? ???s求得位移傳遞率為 )1( 1 22 ????? sdb?因此振幅 ????? db ?當(dāng) 時系統(tǒng)發(fā)生共振 有