【正文】 有阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率 220 ??? ??d令 設(shè) t=0， ,0xx ? 0?? ?22 000 220()vxAx ???????002200t anxx????????振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減的，稱為 衰減振動(dòng) 。 1k2k解： )s in ( 0 ??? ?? tΦ系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)擺桿的最大角速度 Φ0m ax ?? ??系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 220m a x 21 ΦJT ??選擇平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn) 最大勢(shì)能為 222212221m a x )(21)(21)(21 Φdklkd ΦklΦkV ????即 22221220 )(2121 ΦdklkΦJ ???解得固有頻率 Jdklk 22210???由機(jī)械能守恒定律有 m axm ax VT ?例 4－ 6 求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動(dòng)的固有頻率。輪 I連一鉛 直彈簧，輪 II掛一重物，塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆 為 J， 彈簧剛度系數(shù)為 k， 重物質(zhì)量為 m。 傾角 ??30?求：此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和振幅并給出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。 振動(dòng)系統(tǒng)包括：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。 Tf1?由式 mk?20?mk?0?只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量 m和剛度 k有關(guān) 而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān) 它是振動(dòng)系統(tǒng)固有的特性 所以稱為 固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率） 0?m=P/g st/kP??0stg???mk?0?（ 2）振幅與初相角 A表示相對(duì)于振動(dòng)中心點(diǎn) O的最大位移 －－ 振幅 －－ 相位（或相位角） )(0 ?? ?t表示質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí) t 的位置 而 θ 表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置－－ 初相角 設(shè) t= 0 時(shí)， 0xx ? 0?? ?)c o s (dd 00 ???? ??? tAtx)s in ( 0 ?? ?? tAx)s in ( 0 ?? ?? tAx000202020 t an ????? xxA ??? （ 1）彈簧并聯(lián) st11 ?kF ? st22 ?kF ?在平衡時(shí)有 st2121 )( ?kkFFmg ????令 eqk－－ 等效彈簧剛度系數(shù) steq ?kmg ?21eq kkk ??eqst / kmg??固有頻率 mkkmk 21eq0???? 當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)等于兩個(gè) 彈簧剛度系數(shù)的和。 解： 此無重彈性梁相當(dāng)于一彈簧 ,其靜撓度相當(dāng)于彈簧的靜伸長(zhǎng) 則梁的剛度系數(shù)為 st?mgk ?取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) ,x軸方向鉛直向下 運(yùn)動(dòng)微分方程為 kxxkmgt xm ????? )(dd st22?設(shè) mk?20? 0dd 2022?? xt x ?)s in ( 0 ?? ?? tAx固有頻率 r a d / s70st0 ??? ??gmk在初瞬時(shí) t=0， 物塊位于未變形的梁上 其坐標(biāo) mm2st0 ???? ?x 重物初速度 00 ??則振幅為 22 00 202vAx ?? ? ? mm初相角 000πa r c t a n a r c t a n ( )2xv?? ? ? ? ? ? ?最后得系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為 mm)70c os (2 tx ??例 4－ 3 已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)球質(zhì)量為 m。 22 )(21221rxJxmT ?? ???系統(tǒng)的勢(shì)能為 221 kxV ?不計(jì)摩擦， 由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 ????? 2222 2121 kxxrJxmVT ?? 常數(shù) 系統(tǒng)動(dòng)能為 上式兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得 0)2( 2 ??? xkxxxr Jm ????0)2( 2 ??? kxxr Jm ??－－自由振動(dòng)微分方程 系統(tǒng)的固有頻率為 Jmrkr2220 ???如圖所示無阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 當(dāng)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s i n ( 0 ?? ?? tAx速度為 00c o s ( )xv A tt ? ? ?? ? ?dd在瞬時(shí) t 物塊的動(dòng)能為 2 2 2 20011 c o s ( )22T m v m A t? ? ?? ? ?167。 4－ 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 阻尼 －－振動(dòng)過程中的阻力。 d 212 πl(wèi) n 2 π1iiAΛ TA ??? ? ? ??ζ ζζ )1ζ(0 ?? ?? 臨界阻尼狀態(tài) crc－－ 臨界阻力系數(shù) mkc 2cr ?本征方程的根為兩個(gè)相等的實(shí)根 ???1r ???2r微分方程的解為 12e ( )tx C C t????是否具有振動(dòng)的特點(diǎn)？ 其中 和 為兩個(gè)積分常數(shù)， 1C 2C 由運(yùn)動(dòng)的起始條件決定。 令 齊次方程的通解為 )s in ( 01 ?? ?? tAx設(shè)特解有如下形式 )s in (2 ?? ?? tbx 其中 b為待定常數(shù) 將 代入方程 2x)s i n ()s i n ()s i n ( 202 ???????? ?????? thtbtb220 ?? ?? hb全解為 )s i n ()s i n ( 2200 ?????? ????? thtAx)s i n(dd 2022??? ??? thxt x)s in(dd 2022 ??? ??? thxt x上式表明 無阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)諧振動(dòng)合成的。 其運(yùn)動(dòng)圖線如圖所示 它的幅值為 thb02??)c o s (2 002 ??? ??? tthx共振時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 例 4－ 9 已知：如圖長(zhǎng)為 l無重杠桿 OA， 其一端 O 鉸支，另一端 A水 平懸掛在剛度系數(shù)為 k的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有一質(zhì) 量為 m的小球，若在點(diǎn) A 加一激振力 ， 其中激振力的頻率 ， tFF ?s in0?021 ?? ? 0? 為系統(tǒng)的固有頻率 忽略阻尼。設(shè)被測(cè)物體的振動(dòng)規(guī)律為 tes ?s in?解： 測(cè)振儀隨被測(cè)物而振動(dòng)，則其彈簧懸掛點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是 tes ?s in?取 t=0時(shí)物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) O 取 x 軸如圖 sx ???st??物塊絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 tkekxxm ?s i n????（ a） 物塊的受迫振動(dòng)形式為 tbx ?s in?此時(shí)激振力的力幅為 H=ke b為物塊絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的振幅 由于測(cè)振儀殼體也在運(yùn)動(dòng)，其振幅為 e。 20220 212 ????? ????振幅 b具有最大值 maxb這時(shí)的頻率稱為 共振頻率。 4－ 6 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 使轉(zhuǎn)子發(fā)生激烈振動(dòng)的特定轉(zhuǎn)速－－ 臨界轉(zhuǎn)速 。 主動(dòng)隔振是將振源與支持振源的基礎(chǔ) 隔離開來。 路面的波形用公式 表示， 12 πsiny d xl?解： x vt?12 π 2 πs in s in vy d x d tll? ? ?令 則 2πvl? ?tdy ?s in1 ?其中 ω 相當(dāng)于位移激振頻率 x以汽車起始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，路面波形方程可以寫為 2 π 2 π 1 2 . 5 m /s 5 π r a d /s5mvl??? ? ?系統(tǒng)的固有頻率為 r a d/ 1000N / m2940 ???? mk?激振頻率與固有頻率的頻率比為 50??? ???s求得位移傳遞率為 )1( 1 22 ????? sdb?因此振幅 ????? db ?當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振 有 0?? ?02 π vl????cr解得臨界速度 0 5 m 9 . 9 r a d /s 7 . 8 8 m /s 2 8 . 4 k m /h22 π r a dlv ???? ? ? ?cr167。 解： 2211 kxFkxF ?? ，此時(shí)細(xì)桿的質(zhì)心坐標(biāo)為 )(21 21 xxx C ?? （ a） 細(xì)桿繞質(zhì)心 C 的微小轉(zhuǎn)角 )(1 21 xxd ??? （ b） 列出細(xì)桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程 ddkdFdFJxxkFFcxmC ?? 222)(212121??????????????????將式（ a）和式（ b）代入上兩式 注意 122mlJ C ? 則可整理為 00 21212121 ???????? cxcxxxbxbxxx ???????? ，（ c） 其中 2262mlkdcmkb ?? ，只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時(shí) 可取振動(dòng)的初始角 θ =0 而設(shè)式（ c）的解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ， （ d） 將上式代入式（ c） 消去 得 t?sin0))((0))(( 22 ?????? BAcBAb ?? ，（ e） 22222162mlkdcmkb ???? ?? ， （ f） 當(dāng) 時(shí) b?21? 為使式（ e）中兩個(gè)方程都滿足 11 BA ?這是對(duì)應(yīng)于直桿上下平動(dòng)的固有振型 當(dāng) 時(shí) c?22? 為使式（ e）中兩個(gè)方程都滿足 22 BA ??這是對(duì)應(yīng)于質(zhì)心不動(dòng)而繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的固有振型 如果直接取質(zhì)心位移 和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角 Cx ?為系統(tǒng)的兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo) 則直桿的平面運(yùn)動(dòng)微分方程為 ??? 2222kdddkJkxcxm CC ?????? ???? ，（ g） 上式是對(duì) 和 互相獨(dú)立的兩個(gè)微分方程 Cx ?系統(tǒng)的兩個(gè)固有振型 隨同質(zhì)心的平移位移 繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移 Cx?Cx ?和 稱為此系統(tǒng)的兩個(gè) 主坐標(biāo) 例 4－ 16 求：小車和重物的運(yùn)動(dòng)。 （ 3） ddBA 2???即二物塊振幅之比與干擾力頻率有關(guān) 不再是自由振動(dòng)的主振型