【正文】 問：重塊距中點(diǎn)的距離 l 應(yīng)等于多少時(shí)減振器的減振 效果最好。 利用實(shí)驗(yàn)測(cè)固有頻率和固有振型。 1m－－ 相對(duì)平衡位置的位移 1x 1m－－ 相對(duì)平衡位置的位移 2x 2m建立兩個(gè)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)微分方程為 )(s i n)(122221221111xxkxmtHxxkxkxm???????????? ?令 12212121mHhmkdmkcmkkb ????? ，則上式可簡化為 ?????????0s i n212211dxdxxthcxbxx???? ?設(shè)上述方程一組特解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ，式中 A和 B為 和 的振幅 1m 2m 是待定常數(shù) 0)()( 22 ??????? BddAhcBAb ?? ，解上述代數(shù)方程組得 cddbdhA?????))(()(222???下面分析受迫振動(dòng)的 振幅與激振頻率之間的關(guān)系 （ 1）當(dāng)激振頻率 時(shí) 0?? 周期 ??T表示激振力變化及其緩慢，實(shí)際上相當(dāng)于靜力作用 cddbhdB???? ))(( 22 ??01bkHcb hBA ?????－－力幅 H的作用下主質(zhì)量 的靜位移 1m（ 2）系統(tǒng)的頻率方程為 0))(( 2222?????????cddbddcb????由此可解得系統(tǒng)的固有頻率 和 1? 2?0)()( 22 ??????? BddAhcBAb ?? ，cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??所以當(dāng)激振頻率 或 時(shí) 1?? ? 2?? ?振幅 A和 B都成為無窮大，即系統(tǒng)發(fā)生共振。當(dāng)小車連同重物 B 以勻速度 碰上緩沖器后。 已知：如圖表示一具有兩個(gè)集中質(zhì)量 的簡支梁 21 mm，在質(zhì)量 處梁的影響系數(shù)分別為 21 mm， 2211 ?? ，和 ， 2112 ?? ，解： 這是兩個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng) 慣性力分別為 ， 11xm?? 22xm??根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和材料力學(xué)中的變形疊加原理 由兩個(gè)慣性力在 和 處產(chǎn)生的撓度分別為 1m 2m)()()()(222211212221211111xmxmxxmxmx????????????????????整理得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 ?????????00222221121122121111xxmxmxxmxm???????????? （ a） 令 222111222121111212 11memdmmcmmb?????? ???? ， （ b） 則方程（ a）可改寫為 00 221121 ?????? exxxcdxxbx ???????? ，（ c） 設(shè)上述方程解的形式為 )s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，（ d） 將式（ d）代入方程（ c）得 0)(0)( 2222 ??????? BeAcBbAd ???? ，（ e） 頻率方程為 02222?????????ecbd將行列式展開，得 0)()1( 24 ????? ededbc ??解此代數(shù)方程， 得到關(guān)于頻率 的兩個(gè)根 2?)1(2)1(4)()( 222,1 cbdecbeded?????? ?? （ f） 整理得 )1(24)()( 222,1 cbb c d eeded????? ?? （ g） 可以證明 的兩個(gè)根都是正實(shí)根 2?和 為系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率 1? 2?振幅比為 12121212111 1????? ?????cedbBA （ h） 22222222222 1????? ?????cedbBA （ i） 同樣可證明 和 01 ?? 02 ??這樣可以畫出第一主振型和第二主振型如圖 b， c所示 設(shè) mmm ?? 21431lll ??212 ?l則根據(jù)材料力學(xué)公式可計(jì)算出 EIlEIl7 6 877 6 893211232211????????其中 EI為梁截面的抗彎剛度 再將上述表達(dá)式代入式（ g）中 得 3231 mlEImlEI ?? ?? ，再由式（ h）和（ i）解得振幅比為 11222111 ????? ABAB ?? ，梁對(duì)于其中點(diǎn)具有對(duì)稱和反對(duì)稱的兩個(gè)主振型 將上式代入公式（ b）得 397 6 897mlEIdebc ???? ，例 4－ 15 已知：均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為 m， 長為 l， 由兩個(gè)剛度系數(shù)皆 為 k的彈簧對(duì)稱支承。 1?其中第二根 較大，稱為 第二固有頻率 。 圖為被動(dòng)隔振的簡化模型 設(shè)地基振動(dòng)為簡諧振動(dòng) tdx ?s in1 ?將引起擱置在其上物體的振動(dòng)， 這種激振稱為 位移激振。 由振源產(chǎn)生的激振力 隔振： 將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼 元件進(jìn)行隔離。 記為 crn167。 圓盤角速度為 ，轉(zhuǎn)軸 彎曲偏離原來的固定軸線，點(diǎn) O 為 z軸與圓盤的交點(diǎn)， 。 0?解： 設(shè)剛桿擺角為 θ ， 振動(dòng)微分方程為 tlFklclml ???? s i n394 0222 ???? ???tmlFmkmc ???? s i n394 0??? ???令 mlFhmcmk 00329 ??? ， ??0? 即系統(tǒng)的固有頻率。 相位差 ε 隨激振力頻率變化曲線如圖 )s in (2 ?? ?? tbx2202t a n???????例 4－ 12 已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端 l處有 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點(diǎn)，距 2l處有一阻尼器，其阻力系 數(shù)為 c， 距 3l處有一剛度系數(shù)為 k的彈簧。 （ 1）當(dāng) 時(shí) 0?? ??當(dāng)作無阻尼受迫振動(dòng)處理。 167。 受迫振動(dòng)振幅 22122220 )( ???? mmkemhb?????上述振幅表達(dá)式表示的振幅頻率曲線如圖所示 微分方程 temkxxmm ?? s i n)( 2221 ??? ??令 22 ?emH ?2122mmemh?? ?tmmk emthx ?????? s i n)(s i n 221222202 ?????例 4－ 11 求：測(cè)振儀中物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程及受迫振動(dòng)規(guī)律。 解： 設(shè)任一瞬時(shí)剛桿的擺角為 ?系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 tlFkllm ??? s i n)2( 022 ?????令 mklmkl 4)2( 2220 ???mlFlmlFh 020 4)2(??th ???? s i n20 ????可得上述方程的特解，即受迫振動(dòng)為 th ???? s i n220 ??將 代入上式 021 ?? ?tklFtmkmlFth????? s i n34s i n4434s i n430020???例 4－ 10 求：當(dāng)電機(jī)以勻速角速度 ω 旋轉(zhuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。 0?? ?當(dāng) 時(shí) 0?? ?沒有意義 微分方程式的特解應(yīng)具有下面的形式 )c o s ( 02 ?? ?? tBtx02/ ?hB ??220 ?? ?? hb代入 )s i n(dd 2022??? ??? thxt x當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)共振。 （ 3）若 0?? ?b為負(fù)值 b取其絕對(duì)值， 而視受迫振動(dòng) ，與激振力反向 2x隨著激振力頻率 ω 增大，振幅 b 減小。 4－ 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動(dòng) 在外加激振力作用下的振動(dòng)稱為 受迫振動(dòng)。 dT求：圓盤所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的關(guān)系 解： 設(shè) ???M ? 為阻力偶系數(shù) 圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 tJk? ? ? ?? ? ? t 0kJJ?? ? ?? ? ?d2t2 π()2TkJJ???2 2 2dd2 4 πtT k J JT? ??220002 π 2 π11 ( )T ? ????? ??d ζ例 4－ 8 求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。 是否為周期振動(dòng)呢？ 仍具有振動(dòng)的特點(diǎn)。 dF cv??其中： c－－ 粘性阻力系數(shù) （簡稱為 阻力系數(shù) ） 以阻尼元件 c表示。 已知：如圖表示一質(zhì)量為 m， 半徑為 r的圓柱體， 在一半徑為 R的圓弧槽上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。 當(dāng)物體處于平衡位置（振動(dòng)中心）時(shí)，物塊具有最大動(dòng)能 220m a x 21 AmT ??當(dāng)物塊處于偏離振動(dòng)中心的極端位置時(shí)，系統(tǒng)具有最大勢(shì)能 2m a x 21 kAV ?由機(jī)械守恒定律 m axm ax VT ?可得系統(tǒng)的固有頻率 mk /0 ??例 4－ 5 求：系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的固有頻率。 求：此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。 桿于水平位置 平衡。 解： 若物塊平衡時(shí)， 彈簧應(yīng)有變形量 kmg ?? s in0 ?以物塊平衡位置 O為原點(diǎn)， 取 x軸如圖，運(yùn)動(dòng)微分方程為 )(s i ndd 022xkmgt xm ??? ??kxt xm ??22dd通解為 )s in ( 0 ?? ?? tAx固有頻率 00 . 8 N /m 1 0 0 0 4