【正文】 －－ 無阻尼減振器 有阻尼動(dòng)力減振器 它的減振作用主要是靠阻尼元件在振動(dòng)過程中， 吸收振動(dòng)能量來達(dá)到減振的目的。 4－ 9 兩個(gè)自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 對應(yīng)于頻率 的振幅為 1? 11 BA，對應(yīng)于頻率 的振幅為 2? 22 BA，1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBAcddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，其中 和 為比例常數(shù) 1? 2?對應(yīng)于第一固有頻率 的振動(dòng)稱為第一主振動(dòng) 1?它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 1111)1(2111)1(1 ????? ???? tAxtAx ，對應(yīng)于第二固有頻率 的振動(dòng)稱為第二主振動(dòng) 2?它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 2222)2(2222)2(1 ????? ???? tAxtAx ，cddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBA各個(gè)主振動(dòng)中兩個(gè)物塊的振幅比 0])2(2[10])2(2[1222222221111??????????????????cddbdbccbABcddbdbccbAB????圖 b表示在第一主振動(dòng)中振動(dòng)形狀 稱為 第一主振型 圖 c表示在第二主振動(dòng)中振動(dòng)形狀 稱為 第二主振型 圖 c中的點(diǎn) C是始終不振動(dòng)的節(jié)點(diǎn) 主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān) 而與振動(dòng)的初始條件無關(guān)因此主振型也叫 固有振型 . 自由振動(dòng)微分方程的全解為 第一主振動(dòng)與第二主振動(dòng)的疊加 即 )s i n()s i n()s i n()s i n(2222111122221111??????????????????tAtAxtAtAx其中包含 4個(gè)待定常數(shù) 2121 ?? ， AA它們應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的 4個(gè)初始條件 確定 20222022 xxxx ?? ，例 4－ 14 求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 tHtF ?s in)( ?按有阻尼受迫振動(dòng)的理論 物塊的振幅為 22220222220 ζ4)1(4)( ssbhb??????????彈簧變形而作用于基礎(chǔ)上的力 )s i n (e ?? ??? tkbkxF通過阻尼元件作用于基礎(chǔ)的力 )c o s (d ??? ??? tcbxcF ?這兩部分力相位差為 90176。 圓盤慣性力： OCmFI ?? 2?彈性恢復(fù)力： AkrF ?0??mk2202?????erA)(22 ermOCmkr AA ???? ??22??mkemrA ??使轉(zhuǎn)軸撓度異常增大的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 －－ 臨界角速度 。剛桿在水平位置平衡。 受簡諧振動(dòng)力作用的受迫振動(dòng)仍然是諧振動(dòng)。 1m 偏心塊的質(zhì)量為 2m解： 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 kxmt ixi ??? )(dd ?kxtextmtxmt ???? )]s i n(dddd[dd 21 ?質(zhì)點(diǎn)系包括電機(jī)和偏心塊。 220 ?? ?? hb)s i n (2202 ????? ???? thx振幅 b與激振力頻率 ω 之間的關(guān)系曲線稱為 振幅頻率曲線 ， 又稱為 共振曲線 。 使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動(dòng)，測得其相鄰兩個(gè)振幅比 。 在振動(dòng)過程中作用在物塊上的力有 （ 1）恢復(fù)力 eF? kxF ??e（ 2）粘性阻尼力 dF?txccFx ddd ???? ?物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為 txckxtxmdddd22???令 mk?20? mc2??－－ 固有角（圓）頻率 0? －－ 阻尼系數(shù) ?0dd2dd 2022??? xtxtx ??－－ 有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解可設(shè)為 rtex ?本征方程 02 202 ??? ?? rr方程的兩個(gè)根為 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r通解為 trtr eCeCx 21 21 ?? 0?? ? mkc 2?欠阻尼狀態(tài) 本方程的兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù) 2201 i ??? ????r 2202 i ??? ????r220e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?e s i n ( )tx A t? ????? d其中 A和 θ 為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。 解： 擺于水平平衡處， 彈簧已有壓縮量 0?由平衡方程 0)( ??iO FM ?dkm g l 0??以平衡位置為原點(diǎn)， 擺繞軸 O的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 ddkm gltJ ???? )(dd 022????? 222dd kdtJ ??Jkd?0?例 4－ 4 已知：如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑 皆為 R， 半徑為 r的鼓輪上繞有細(xì)繩。 當(dāng)物塊下落高度 h=，撞于無質(zhì)量的彈簧上， 并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數(shù) k=。 學(xué)習(xí)目的：利用有益的振動(dòng)，減少有害的振動(dòng)。 這個(gè)結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧并聯(lián)的情形。 擺對軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 彈簧剛度系數(shù)為 k。 4－ 2 計(jì)算固有頻率的能量法 若選平衡位置為零勢能點(diǎn)，有 PxxkV ???? ])[(21 2st2st ??Pk ?st?)(s i n2121 0222 ?? ??? tkAkxV 對于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果以平 衡位置為零勢能位置，則重力勢能與彈性力 勢能之和，相當(dāng)于由平衡位置處計(jì)算變形的 單獨(dú)彈性力的勢能。 粘性阻尼 －－當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。 物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長而無限地趨向平衡位置 因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn) )1ζ(0 ?? ?? 過阻尼狀態(tài) 阻力系數(shù) crcc ?本征方程的根為兩個(gè)不等的實(shí)根 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r微分方程的解為 2 2 2 20012e ( e e )tttx C C? ? ? ?? ? ? ??? ? ? 其中 和 為兩個(gè)積分常數(shù)， 1C 2C 由運(yùn)動(dòng)起始條件來確定 運(yùn)動(dòng)圖線如圖 不具有振動(dòng)性質(zhì) 例 4－ 7 已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系 數(shù)為 kt， 圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J， 如圓盤外緣受 到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭 振的周期為 。 第一部分是頻率為固有頻率的自由振動(dòng) 第二部分是頻率為激振力頻率的振動(dòng) －－ 受迫振動(dòng) )s i n ( 01 ?? ?? tAx)s i n (2202 ???? ??? thx （ 1）若 0?? 即激振力為一恒力， 此時(shí)并不振動(dòng) 所謂的振幅 實(shí)為 靜力 H 作用下的靜變形 0bkHhb ??200 ?220 ?? ?? hb（ 2）若 00 ?? ??振幅 b 隨著頻率 ω 單調(diào)上升 當(dāng) ω 接近 時(shí)， 0? 振幅 b 將趨于無窮大。 求：系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。 記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅 eba ??20220220 )(1)(?????? ??????emkehb當(dāng) 時(shí) ?? ??0 0?b 有 ea ?記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。 220m a x 2 ??? ??hb20m a x ζ1ζ2 ??bb在一般情況下 阻尼比 1ζ??共振頻率 0?? ?共振的振幅為 ζ20maxbb ?（ 3）當(dāng) 時(shí) 0?? ??阻尼對受迫振動(dòng)的振幅影響也較小 將系統(tǒng)當(dāng)作無阻尼系統(tǒng)處理 有阻尼受迫振動(dòng)的相位角，總比激振力落后一個(gè)相 位角 ε， ε稱為 相位差 。 單圓盤轉(zhuǎn)子：質(zhì)量 m， 質(zhì)心為 C， 圓盤與軸的交點(diǎn)為 A， 偏心距為 e＝ AC。 如圖所示為主動(dòng)隔振的簡化模型。 4－ 8 兩個(gè)自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 例子：汽車的振動(dòng) ??????????00)(221222221211xkxkxmxkxkkxm????上式是一個(gè)二階線性齊次微分方程組 兩個(gè)物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程 )()(122221221111xxkxmxxkxkxm???????????2212121mkdmkcmkkb ???? ，令 上列方程組的解為 00 212211 ?????? dxdxxcxbxx ???? ，)s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，其中： A、 B是振幅； ω 為角頻率 將上式代入 0)s i n ()s i n ()s i n (0)s i n ()s i n ()s i n (22????????????????????????????tdBtdAtBtcBtbAtA00 212211 ?????? dxdxxcxbxx ???? ，整理后得 0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，系統(tǒng)發(fā)生振動(dòng)時(shí)，方程具有非零解 則方程的系數(shù)行列式必須等于零 022???????ddcb －－ 頻率行列式 0)()( 24 ????? cbddb ??－－系統(tǒng)的本征方程，稱為 頻率方程 )()2(2 22 2,1 cbddbdb ????? ??整理得 cddbdb ??