【正文】 動(dòng)的滾動(dòng)。 解： 1 ()Ov R r ???rrR /)( ?? ???系統(tǒng)的動(dòng)能為 1122 2 2 2221 1 1 1 ( )[ ( ) ] ( ) [ ]2 2 2 2 23()4OOm r R rT m v J m R rrmRr?????? ? ? ? ???系統(tǒng)的勢(shì)能為 2s i n)(2)c o s1)((2 ?? rRmgrRmgV ?????當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)時(shí)， 可認(rèn)為 22s in?? ?2)(21 ?rRmgV ??設(shè)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí) θ的變化規(guī)律為 )s in (0 ??? ?? tA則系統(tǒng)的最大動(dòng)能 2202m a x )(43 ArRmT ???系統(tǒng)的最大勢(shì)能 2m a x )(21 ArRmgV ??由機(jī)械守恒定律 有 m axm ax VT ?解得系統(tǒng)的固有頻率為 )(320 rRg??? 167。 4－ 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 阻尼 －－振動(dòng)過(guò)程中的阻力。 粘性阻尼 －－當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。 dF cv??其中： c－－ 粘性阻力系數(shù) （簡(jiǎn)稱為 阻力系數(shù) ） 以阻尼元件 c表示。 一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng) 彈性元件（ k） 慣性元件（ m） 阻尼元件（ c） 如以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在建立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分 方程時(shí)可以不再計(jì)入重力 的作用。 在振動(dòng)過(guò)程中作用在物塊上的力有 （ 1）恢復(fù)力 eF? kxF ??e（ 2）粘性阻尼力 dF?txccFx ddd ???? ?物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為 txckxtxmdddd22???令 mk?20? mc2??－－ 固有角（圓）頻率 0? －－ 阻尼系數(shù) ?0dd2dd 2022??? xtxtx ??－－ 有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解可設(shè)為 rtex ?本征方程 02 202 ??? ?? rr方程的兩個(gè)根為 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r通解為 trtr eCeCx 21 21 ?? 0?? ? mkc 2?欠阻尼狀態(tài) 本方程的兩個(gè)根為共軛復(fù)數(shù) 2201 i ??? ????r 2202 i ??? ????r220e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?e s i n ( )tx A t? ????? d其中 A和 θ 為兩個(gè)積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。 －－ 有阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率 220 ??? ??d令 設(shè) t=0， ,0xx ? 0?? ?22 000 220()vxAx ???????002200t anxx????????振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減的，稱為 衰減振動(dòng) 。 是否為周期振動(dòng)呢？ 仍具有振動(dòng)的特點(diǎn)。 定義：質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置 所需要的時(shí)間稱為衰減振動(dòng)的 周期 ， 記為 dT2202 π 2 πT? ???? ?d d令 22 0002 π 2 π11 ( )T? ???????dζmkc2ζ 0 ?? ?? ζ 稱為 阻尼比 2d ζ1 ?? TT 2d ζ1 ?? ff 20d ζ1 ?? ??設(shè)在某瞬時(shí) t， 振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值為 A， e itiAA ???經(jīng)過(guò)一個(gè)周期 后 dT()1 e itTiAA ???? ? ddd()1e eeiitTitTiA AAA?????????－－ 減縮因數(shù) －－相當(dāng) 振幅 e s i n ( )tx A t? ????? d－－ 對(duì)數(shù)減縮， 反映阻尼的參數(shù)。 d 212 πl(wèi) n 2 π1iiAΛ TA ??? ? ? ??ζ ζζ )1ζ(0 ?? ?? 臨界阻尼狀態(tài) crc－－ 臨界阻力系數(shù) mkc 2cr ?本征方程的根為兩個(gè)相等的實(shí)根 ???1r ???2r微分方程的解為 12e ( )tx C C t????是否具有振動(dòng)的特點(diǎn)？ 其中 和 為兩個(gè)積分常數(shù)， 1C 2C 由運(yùn)動(dòng)的起始條件決定。 物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無(wú)限地趨向平衡位置 因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn) )1ζ(0 ?? ?? 過(guò)阻尼狀態(tài) 阻力系數(shù) crcc ?本征方程的根為兩個(gè)不等的實(shí)根 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r微分方程的解為 2 2 2 20012e ( e e )tttx C C? ? ? ?? ? ? ??? ? ? 其中 和 為兩個(gè)積分常數(shù)， 1C 2C 由運(yùn)動(dòng)起始條件來(lái)確定 運(yùn)動(dòng)圖線如圖 不具有振動(dòng)性質(zhì) 例 4－ 7 已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤(pán)，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系 數(shù)為 kt， 圓盤(pán)對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J， 如圓盤(pán)外緣受 到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，而圓盤(pán)衰減扭 振的周期為 。 dT求：圓盤(pán)所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的關(guān)系 解： 設(shè) ???M ? 為阻力偶系數(shù) 圓盤(pán)繞桿軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 tJk? ? ? ?? ? ? t 0kJJ?? ? ?? ? ?d2t2 π()2TkJJ???2 2 2dd2 4 πtT k J JT? ??220002 π 2 π11 ( )T ? ????? ??d ζ例 4－ 8 求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。 已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為 ， 彈簧剛度系數(shù) k=2022N/m。 使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動(dòng)，測(cè)得其相鄰兩個(gè)振幅比 。 981 0 01 ??ii AA解： 對(duì)數(shù)減縮為 98100lnln1????iiAAΛ阻尼比為 0 . 0 0 3 2 1 52 πΛ??ζ系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)為 s / mN20N / ????? mkc阻力系數(shù) s / mN0 6 4 cr ??? cc167。 4－ 4 單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼受迫振動(dòng) 在外加激振力作用下的振動(dòng)稱為 受迫振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力是一種典型的周期變化的激振力 )s i n( ?? ?? tHF其中： H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值； ω 是激振力的角頻率； ? 是激振力的初相角； 恢復(fù)力 kxF ??e質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 )s i n(dd 22?? ???? tHkxt xmmHhmk ?? ，20?)s i n(dd 2022??? ??? thxt x取物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸向下為正。 令 齊次方程的通解為 )s in ( 01 ?? ?? tAx設(shè)特解有如下形式 )s in (2 ?? ?? tbx 其中 b為待定常數(shù) 將 代入方程 2x)s i n ()s i n ()s i n ( 202 ???????? ?????? thtbtb220 ?? ?? hb全解為 )s i n ()s i n ( 2200 ?????? ????? thtAx)s i n(dd 2022??? ??? thxt x)s in(dd 2022 ??? ??? thxt x上式表明 無(wú)阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)諧振動(dòng)合成的。 第一部分是頻率為固有頻率的自由振動(dòng) 第二部分是頻率為激振力頻率的振動(dòng) －－ 受迫振動(dòng) )s i n ( 01 ?? ?? tAx)s i n (2202 ???? ??? thx （ 1）若 0?? 即激振力為一恒力， 此時(shí)并不振動(dòng) 所謂的振幅 實(shí)為 靜力 H 作用下的靜變形 0bkHhb ??200 ?220 ?? ?? hb（ 2）若 00 ?? ??振幅 b 隨著頻率 ω 單調(diào)上升 當(dāng) ω 接近 時(shí)， 0? 振幅 b 將趨于無(wú)窮大。 （ 3）若 0?? ?b為負(fù)值 b取其絕對(duì)值， 而視受迫振動(dòng) ，與激振力反向 2x隨著激振力頻率 ω 增大，振幅 b 減小。 當(dāng) ω 趨于 ∞ ， 振幅 b 趨于零。 220 ?? ?? hb)s i n (2202 ????? ???? thx振幅 b與激振力頻率 ω 之間的關(guān)系曲線稱為 振幅頻率曲線 ， 又稱為 共振曲線 。 將縱軸取為 0bb?? 橫軸取為 0??? ?振幅頻率曲線如圖所示 當(dāng) 時(shí)，即 激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí) ， 振幅 b在理論上應(yīng)趨向無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱為 共振 。 0?? ?當(dāng) 時(shí) 0?? ?沒(méi)有意義 微分方程式的特解應(yīng)具有下面的形式 )c o s ( 02 ?? ?? tBtx02/ ?hB ??220 ?? ?? hb代入 )s i n(dd 2022??? ??? thxt x當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)共振。 0?? ?受迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間無(wú)限地增大。 其運(yùn)動(dòng)圖線如圖所示 它的幅值為 thb02??)c o s (2 002 ??? ??? tthx共振時(shí)受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 例 4－ 9 已知：如圖長(zhǎng)為 l無(wú)重杠桿 OA， 其一端 O 鉸支，另一端 A水 平懸掛在剛度系數(shù)為 k的彈簧上，桿的中點(diǎn)裝有一質(zhì) 量為 m的小球，若在點(diǎn) A 加一激振力 ， 其中激振力的頻率 ， tFF ?s in0?021 ?? ? 0? 為系統(tǒng)的固有頻率 忽略阻尼。 求：系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。 解： 設(shè)任一瞬時(shí)剛桿的擺角為 ?系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 tlFkllm ??? s i n)2( 022 ?????令 mklmkl 4)2(