【正文】 動的滾動。 解： 1 ()Ov R r ???rrR /)( ?? ???系統(tǒng)的動能為 1122 2 2 2221 1 1 1 ( )[ ( ) ] ( ) [ ]2 2 2 2 23()4OOm r R rT m v J m R rrmRr?????? ? ? ? ???系統(tǒng)的勢能為 2s i n)(2)c o s1)((2 ?? rRmgrRmgV ?????當(dāng)圓柱體作微振動時， 可認(rèn)為 22s in?? ?2)(21 ?rRmgV ??設(shè)系統(tǒng)作自由振動時 θ的變化規(guī)律為 )s in (0 ??? ?? tA則系統(tǒng)的最大動能 2202m a x )(43 ArRmT ???系統(tǒng)的最大勢能 2m a x )(21 ArRmgV ??由機(jī)械守恒定律 有 m axm ax VT ?解得系統(tǒng)的固有頻率為 )(320 rRg??? 167。 4－ 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動 阻尼 －－振動過程中的阻力。 粘性阻尼 －－當(dāng)振動速度不大時，由于介質(zhì)粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。 dF cv??其中： c－－ 粘性阻力系數(shù) （簡稱為 阻力系數(shù) ） 以阻尼元件 c表示。 一般的機(jī)械振動系統(tǒng) 彈性元件（ k） 慣性元件（ m） 阻尼元件（ c） 如以平衡位置為坐標(biāo)原點， 在建立此系統(tǒng)的振動微分 方程時可以不再計入重力 的作用。 在振動過程中作用在物塊上的力有 （ 1）恢復(fù)力 eF? kxF ??e（ 2）粘性阻尼力 dF?txccFx ddd ???? ?物塊的運動微分方程為 txckxtxmdddd22???令 mk?20? mc2??－－ 固有角（圓）頻率 0? －－ 阻尼系數(shù) ?0dd2dd 2022??? xtxtx ??－－ 有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解可設(shè)為 rtex ?本征方程 02 202 ??? ?? rr方程的兩個根為 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r通解為 trtr eCeCx 21 21 ?? 0?? ? mkc 2?欠阻尼狀態(tài) 本方程的兩個根為共軛復(fù)數(shù) 2201 i ??? ????r 2202 i ??? ????r220e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?e s i n ( )tx A t? ????? d其中 A和 θ 為兩個積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。 －－ 有阻尼自由振動的固有角頻率 220 ??? ??d令 設(shè) t=0， ,0xx ? 0?? ?22 000 220()vxAx ???????002200t anxx????????振動的振幅是隨時間不斷衰減的，稱為 衰減振動 。 是否為周期振動呢？ 仍具有振動的特點。 定義：質(zhì)點從一個最大偏離位置到下一個最大偏離位置 所需要的時間稱為衰減振動的 周期 ， 記為 dT2202 π 2 πT? ???? ?d d令 22 0002 π 2 π11 ( )T? ???????dζmkc2ζ 0 ?? ?? ζ 稱為 阻尼比 2d ζ1 ?? TT 2d ζ1 ?? ff 20d ζ1 ?? ??設(shè)在某瞬時 t， 振動達(dá)到的最大偏離值為 A， e itiAA ???經(jīng)過一個周期 后 dT()1 e itTiAA ???? ? ddd()1e eeiitTitTiA AAA?????????－－ 減縮因數(shù) －－相當(dāng) 振幅 e s i n ( )tx A t? ????? d－－ 對數(shù)減縮， 反映阻尼的參數(shù)。 d 212 πl(wèi) n 2 π1iiAΛ TA ??? ? ? ??ζ ζζ )1ζ(0 ?? ?? 臨界阻尼狀態(tài) crc－－ 臨界阻力系數(shù) mkc 2cr ?本征方程的根為兩個相等的實根 ???1r ???2r微分方程的解為 12e ( )tx C C t????是否具有振動的特點？ 其中 和 為兩個積分常數(shù)， 1C 2C 由運動的起始條件決定。 物體的運動是隨時間的增長而無限地趨向平衡位置 因此運動已不具有振動的特點 )1ζ(0 ?? ?? 過阻尼狀態(tài) 阻力系數(shù) crcc ?本征方程的根為兩個不等的實根 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r微分方程的解為 2 2 2 20012e ( e e )tttx C C? ? ? ?? ? ? ??? ? ? 其中 和 為兩個積分常數(shù)， 1C 2C 由運動起始條件來確定 運動圖線如圖 不具有振動性質(zhì) 例 4－ 7 已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系 數(shù)為 kt， 圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量 J， 如圓盤外緣受 到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭 振的周期為 。 dT求：圓盤所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系 解： 設(shè) ???M ? 為阻力偶系數(shù) 圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動微分方程為 tJk? ? ? ?? ? ? t 0kJJ?? ? ?? ? ?d2t2 π()2TkJJ???2 2 2dd2 4 πtT k J JT? ??220002 π 2 π11 ( )T ? ????? ??d ζ例 4－ 8 求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。 已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為 ， 彈簧剛度系數(shù) k=2022N/m。 使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動，測得其相鄰兩個振幅比 。 981 0 01 ??ii AA解： 對數(shù)減縮為 98100lnln1????iiAAΛ阻尼比為 0 . 0 0 3 2 1 52 πΛ??ζ系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)為 s / mN20N / ????? mkc阻力系數(shù) s / mN0 6 4 cr ??? cc167。 4－ 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動 在外加激振力作用下的振動稱為 受迫振動。 簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力 )s i n( ?? ?? tHF其中： H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值； ω 是激振力的角頻率； ? 是激振力的初相角； 恢復(fù)力 kxF ??e質(zhì)點的運動微分方程為 )s i n(dd 22?? ???? tHkxt xmmHhmk ?? ，20?)s i n(dd 2022??? ??? thxt x取物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點，x軸向下為正。 令 齊次方程的通解為 )s in ( 01 ?? ?? tAx設(shè)特解有如下形式 )s in (2 ?? ?? tbx 其中 b為待定常數(shù) 將 代入方程 2x)s i n ()s i n ()s i n ( 202 ???????? ?????? thtbtb220 ?? ?? hb全解為 )s i n ()s i n ( 2200 ?????? ????? thtAx)s i n(dd 2022??? ??? thxt x)s in(dd 2022 ??? ??? thxt x上式表明 無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的。 第一部分是頻率為固有頻率的自由振動 第二部分是頻率為激振力頻率的振動 －－ 受迫振動 )s i n ( 01 ?? ?? tAx)s i n (2202 ???? ??? thx （ 1）若 0?? 即激振力為一恒力， 此時并不振動 所謂的振幅 實為 靜力 H 作用下的靜變形 0bkHhb ??200 ?220 ?? ?? hb（ 2）若 00 ?? ??振幅 b 隨著頻率 ω 單調(diào)上升 當(dāng) ω 接近 時， 0? 振幅 b 將趨于無窮大。 （ 3）若 0?? ?b為負(fù)值 b取其絕對值， 而視受迫振動 ，與激振力反向 2x隨著激振力頻率 ω 增大，振幅 b 減小。 當(dāng) ω 趨于 ∞ ， 振幅 b 趨于零。 220 ?? ?? hb)s i n (2202 ????? ???? thx振幅 b與激振力頻率 ω 之間的關(guān)系曲線稱為 振幅頻率曲線 ， 又稱為 共振曲線 。 將縱軸取為 0bb?? 橫軸取為 0??? ?振幅頻率曲線如圖所示 當(dāng) 時，即 激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時 ， 振幅 b在理論上應(yīng)趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為 共振 。 0?? ?當(dāng) 時 0?? ?沒有意義 微分方程式的特解應(yīng)具有下面的形式 )c o s ( 02 ?? ?? tBtx02/ ?hB ??220 ?? ?? hb代入 )s i n(dd 2022??? ??? thxt x當(dāng) 時，系統(tǒng)共振。 0?? ?受迫振動的振幅隨時間無限地增大。 其運動圖線如圖所示 它的幅值為 thb02??)c o s (2 002 ??? ??? tthx共振時受迫振動的運動規(guī)律為 例 4－ 9 已知：如圖長為 l無重杠桿 OA， 其一端 O 鉸支，另一端 A水 平懸掛在剛度系數(shù)為 k的彈簧上，桿的中點裝有一質(zhì) 量為 m的小球，若在點 A 加一激振力 ， 其中激振力的頻率 ， tFF ?s in0?021 ?? ? 0? 為系統(tǒng)的固有頻率 忽略阻尼。 求：系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。 解： 設(shè)任一瞬時剛桿的擺角為 ?系統(tǒng)的運動微分方程為 tlFkllm ??? s i n)2( 022 ?????令 mklmkl 4)2(