【正文】 ?? 22 2,1 )2(2 ??其中第一根 較小，稱為 第一固有頻率 。 已知：如圖起重機小車， 在質心 A處用繩懸掛一重物 B， 設繩和彈簧質量均忽略不計。 cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??當 或 時 1?? ? 2?ddBA 21??? 或 dd 22??當系統(tǒng)發(fā)生各階共振時，受迫振動是各階主振型。 解： 電機機殼受迫振動的角頻率為 2 π 2 π 50 π r a d /s60nf? ? ? ?螺桿的剛度系數 k可由材料力學公式計算 有 33lElk ?其中 是螺桿截面慣性矩 4π64DI ?M P 5??E 是材料的彈性模量 l為懸臂桿的桿長 減振器自身的固有頻率為 40 33 π64k E Dm m l????令 0?? ? 解得桿長 4 5 43 32 2 23 π 3 2 .1 1 0 N /m m π ( 2 0 m m ) 1 0 0 0 3 4 2 m m6 4 6 4 5 k g ( 5 0 r a d /s ) πEDlm ?? ? ? ? ? ?? ? ???2。 由此可見兩個自由度系統(tǒng)有兩個共振頻率。 求：此系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 質點運動微分方程為 )()( 11 xxcxxkxm ???? ?????11 xckxkxxcxm ???? ????將 的表達式代入 1xtdctkdkxxcxm ??? c oss i n ???? ???)s i n( ?? ???? tHkxxcxm ???其中 222 ?ckdH ??kc?? a r c t a n?方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為 )s i n( ?? ?? tbx2222222)( ???cmkckdb????寫成綱量為 1的形式 222222ζ4)1(ζ41sssdb???????其中 是振動物體的位移與地基激振動位移之比 ??稱為 位移的傳遞率 例 4－ 13 求：汽車以速度 v=45km/h勻速前進時，車體的垂 直振幅為多少？汽車的臨界速度為多少？ 已知：如圖為一汽車在波形路面行走的力學模型， 其中幅度的 d=25mm， 波長 l=5m， 汽車質 量為 m=3000kg， 彈簧剛度系數為 k=294kN/m， 忽略阻尼。 4－ 7 隔振 隔振分為 主動隔振 和 被動隔振 兩類。 當 時 0???kmclFlcFhb44320000??? ???質點的振幅 kmcFlbB40??222220 4)( ???? ???hb167。 （ 2）當 時)1即(0 ?? s??阻尼增大，振幅下降。 已知：如圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質量為 m， 彈簧剛度系數 k， 測振儀放在振動物體表面， 將隨物體而運動。 0?? ?受迫振動的振幅隨時間無限地增大。 簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力 )s i n( ?? ?? tHF其中： H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值； ω 是激振力的角頻率； ? 是激振力的初相角； 恢復力 kxF ??e質點的運動微分方程為 )s i n(dd 22?? ???? tHkxt xmmHhmk ?? ，20?)s i n(dd 2022??? ??? thxt x取物塊的平衡位置為坐標原點，x軸向下為正。 定義：質點從一個最大偏離位置到下一個最大偏離位置 所需要的時間稱為衰減振動的 周期 ， 記為 dT2202 π 2 πT? ???? ?d d令 22 0002 π 2 π11 ( )T? ???????dζmkc2ζ 0 ?? ?? ζ 稱為 阻尼比 2d ζ1 ?? TT 2d ζ1 ?? ff 20d ζ1 ?? ??設在某瞬時 t， 振動達到的最大偏離值為 A， e itiAA ???經過一個周期 后 dT()1 e itTiAA ???? ? ddd()1e eeiitTitTiA AAA?????????－－ 減縮因數 －－相當 振幅 e s i n ( )tx A t? ????? d－－ 對數減縮， 反映阻尼的參數。 解： 1 ()Ov R r ???rrR /)( ?? ???系統(tǒng)的動能為 1122 2 2 2221 1 1 1 ( )[ ( ) ] ( ) [ ]2 2 2 2 23()4OOm r R rT m v J m R rrmRr?????? ? ? ? ???系統(tǒng)的勢能為 2s i n)(2)c o s1)((2 ?? rRmgrRmgV ?????當圓柱體作微振動時， 可認為 22s in?? ?2)(21 ?rRmgV ??設系統(tǒng)作自由振動時 θ的變化規(guī)律為 )s in (0 ??? ?? tA則系統(tǒng)的最大動能 2202m a x )(43 ArRmT ???系統(tǒng)的最大勢能 2m a x )(21 ArRmgV ??由機械守恒定律 有 m axm ax VT ?解得系統(tǒng)的固有頻率為 )(320 rRg??? 167。 解： 以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點，取 x軸如圖。 求：系統(tǒng)的振動規(guī)律。 4－ 1 單自由度系統(tǒng)的自由振動 0l設彈簧原長為 gmP ?? ?在重力 的作用下 剛度系數為 k st?彈簧的變形為 這一位置為平衡位置 稱為靜變形 st /Pk? ?取重物的平衡位置點 O為坐標原點 st()F k k x??? ? ? ? ?其運動微分方程為 取 x 軸的正向鉛直向下 則 2st2d ()dxm P k xt ?? ? ?kxtxm ??22ddst /Pk? ?上式表明： 物體偏離平衡位置于坐標 x處將受到與偏離距離成正 比而與偏離方向相反的合力 恢復力 只在恢復力作用下維持的振動稱為 無阻尼自由振動 mk?20?0dd 2022?? xtx ?－－ 無阻尼自由振動微分方程的標準形式 kxtxm ??22dd其解具有如下形式 rtex ?其中 r為待定常數 本征方程 0202 ?? ?r本征方程的兩個根為 0201 ii ?? ???? rr1r 和 2r 是兩個共軛虛根 微分方程的解為 tCtCx 0201 s i nc o s ?? ??其中 和 是積分常數， 1C 2C由運動的起始條件確定 令： 212221 t a n CCCCA ??? ?)s in ( 0 ?? ?? tAx無阻尼自由振動是簡諧振動 （ 1）固有頻率 －－ 周期振動 若運動規(guī)律 x( t ) 可以寫為 )()( Ttxtx ??T為常數－－ 周期 由式 )s in (0 ?? ?? tAx00[ ( ) ] ( ) 2 πt T t? ? ? ?? ? ? ? ?自由振動的周期為 02πT??012 π 2 π fT? ??其中 －－振動的 頻率 ，表示每秒鐘的振動次數。 167。 解： 若物塊平衡時， 彈簧應有變形量 kmg ?? s in0 ?以物塊平衡位置 O為原點， 取 x軸如圖，運動微分方程為 )(s i ndd 022xkmgt xm ??? ??kxt xm ??22dd通解為 )s in ( 0 ?? ?? tAx固有頻率 00 . 8 N /m 1 0 0 0 4 0 r a d /s0 . 5 k gkm??? ? ?當物塊碰上彈簧時，取時間 t=0，作為振動的起點 0 0 0N / 30s i nm / 3200???????????? ?x20 2 2 9 . 8 m / s 0 . 1 m 1 . 4 m / sv g h? ? ? ? ?22 00 203 5 .1vAx ?? ? ? mm 000a r c t a n 0 . 0 8 7 r a dxv?? ? ? ?運動方程為 mm)08 i n( ?? tx例 4－ 2 已知：如圖所示無重彈性梁，當中部放置質量 m的物塊時， 其靜撓度為 2mm， 若將此物塊在梁未變形位置處 無初速釋放。 求：此系統(tǒng)振動的固有頻率。 已知：如圖表示一質量為 m， 半徑為 r的圓柱體， 在一半徑為 R的圓弧槽上作無滑動的滾動。 是否為周期振動呢？ 仍具有振動的特點。 4－ 4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼受迫振動 在外加激振力作用下的振動稱為 受迫振動。 0?? ?當 時 0?? ?沒有意義 微分方程式的特解應具有下面的形式 )c o s ( 02 ?? ?? tBtx02/ ?hB ??220 ?? ?? hb代入 )s i n(dd 2022??? ??? thxt x當 時，系統(tǒng)共振。 受迫振動振幅 22122220 )( ???? mmkemhb?????上述振幅表達式表示的振幅頻率曲線如圖所示 微分方程 temkxxmm ?? s i n)( 2221 ??? ??令 22 ?emH ?2122mmemh?? ?tmmk emthx ?????? s i n)(s i n 221222202 ?????例 4－ 11 求：測振儀中物塊的運動微分方程及受迫振動規(guī)律。 （ 1）當 時 0?? ??當作無阻尼受迫振動處理。 0?解： 設剛桿擺角為 θ ， 振動微分方程為 tlFklclml ???? s i n394 0222 ???? ???tmlFmkmc ???? s i n394 0??? ?