【正文】 第四章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn)：圍繞其平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 學(xué)習(xí)目的：利用有益的振動(dòng)，減少有害的振動(dòng)。 振動(dòng)系統(tǒng)包括：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。 167。 4－ 1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 0l設(shè)彈簧原長(zhǎng)為 gmP ?? ?在重力 的作用下 剛度系數(shù)為 k st?彈簧的變形為 這一位置為平衡位置 稱為靜變形 st /Pk? ?取重物的平衡位置點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) st()F k k x??? ? ? ? ?其運(yùn)動(dòng)微分方程為 取 x 軸的正向鉛直向下 則 2st2d ()dxm P k xt ?? ? ?kxtxm ??22ddst /Pk? ?上式表明： 物體偏離平衡位置于坐標(biāo) x處將受到與偏離距離成正 比而與偏離方向相反的合力 恢復(fù)力 只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)稱為 無阻尼自由振動(dòng) mk?20?0dd 2022?? xtx ?－－ 無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 kxtxm ??22dd其解具有如下形式 rtex ?其中 r為待定常數(shù) 本征方程 0202 ?? ?r本征方程的兩個(gè)根為 0201 ii ?? ???? rr1r 和 2r 是兩個(gè)共軛虛根 微分方程的解為 tCtCx 0201 s i nc o s ?? ??其中 和 是積分常數(shù)， 1C 2C由運(yùn)動(dòng)的起始條件確定 令： 212221 t a n CCCCA ??? ?)s in ( 0 ?? ?? tAx無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng) （ 1）固有頻率 －－ 周期振動(dòng) 若運(yùn)動(dòng)規(guī)律 x( t ) 可以寫為 )()( Ttxtx ??T為常數(shù)－－ 周期 由式 )s in (0 ?? ?? tAx00[ ( ) ] ( ) 2 πt T t? ? ? ?? ? ? ? ?自由振動(dòng)的周期為 02πT??012 π 2 π fT? ??其中 －－振動(dòng)的 頻率 ，表示每秒鐘的振動(dòng)次數(shù)。 Tf1?由式 mk?20?mk?0?只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量 m和剛度 k有關(guān) 而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān) 它是振動(dòng)系統(tǒng)固有的特性 所以稱為 固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率） 0?m=P/g st/kP??0stg???mk?0?（ 2）振幅與初相角 A表示相對(duì)于振動(dòng)中心點(diǎn) O的最大位移 －－ 振幅 －－ 相位（或相位角） )(0 ?? ?t表示質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí) t 的位置 而 θ 表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置－－ 初相角 設(shè) t= 0 時(shí)， 0xx ? 0?? ?)c o s (dd 00 ???? ??? tAtx)s in ( 0 ?? ?? tAx)s in ( 0 ?? ?? tAx000202020 t an ????? xxA ??? （ 1）彈簧并聯(lián) st11 ?kF ? st22 ?kF ?在平衡時(shí)有 st2121 )( ?kkFFmg ????令 eqk－－ 等效彈簧剛度系數(shù) steq ?kmg ?21eq kkk ??eqst / kmg??固有頻率 mkkmk 21eq0???? 當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)等于兩個(gè) 彈簧剛度系數(shù)的和。 這個(gè)結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧并聯(lián)的情形。 （ 2）彈簧串聯(lián) 1st1 kmg??22st kmg??兩個(gè)彈簧總的靜伸長(zhǎng) )11(212st1stst kkmg ???? ???若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為 eqk則有 eqst / kmg??比較上面兩式得 21eq111kkk ?? 2121eq kkkkk??固有頻率為 )( 2121eq0 kkmkkmk????當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù) 等于兩個(gè)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的和。 這一結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧串聯(lián)的情形 圖為一扭振系統(tǒng) 運(yùn)動(dòng)微分方程為 ?? tO ktJ ??22dd令 OtJk?20?則上式可變?yōu)? 0dd 2022?? ???t例 4－ 1 已知：質(zhì)量為 m＝ 。 當(dāng)物塊下落高度 h=，撞于無質(zhì)量的彈簧上， 并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數(shù) k=。 傾角 ??30?求：此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和振幅并給出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。 解： 若物塊平衡時(shí)， 彈簧應(yīng)有變形量 kmg ?? s in0 ?以物塊平衡位置 O為原點(diǎn)， 取 x軸如圖，運(yùn)動(dòng)微分方程為 )(s i ndd 022xkmgt xm ??? ??kxt xm ??22dd通解為 )s in ( 0 ?? ?? tAx固有頻率 00 . 8 N /m 1 0 0 0 4 0 r a d /s0 . 5 k gkm??? ? ?當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間 t=0，作為振動(dòng)的起點(diǎn) 0 0 0N / 30s i nm / 3200???????????? ?x20 2 2 9 . 8 m / s 0 . 1 m 1 . 4 m / sv g h? ? ? ? ?22 00 203 5 .1vAx ?? ? ? mm 000a r c t a n 0 . 0 8 7 r a dxv?? ? ? ?運(yùn)動(dòng)方程為 mm)08 i n( ?? tx例 4－ 2 已知：如圖所示無重彈性梁，當(dāng)中部放置質(zhì)量 m的物塊時(shí)， 其靜撓度為 2mm， 若將此物塊在梁未變形位置處 無初速釋放。 求：系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。 解： 此無重彈性梁相當(dāng)于一彈簧 ,其靜撓度相當(dāng)于彈簧的靜伸長(zhǎng) 則梁的剛度系數(shù)為 st?mgk ?取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) ,x軸方向鉛直向下 運(yùn)動(dòng)微分方程為 kxxkmgt xm ????? )(dd st22?設(shè) mk?20? 0dd 2022?? xt x ?)s in ( 0 ?? ?? tAx固有頻率 r a d / s70st0 ??? ??gmk在初瞬時(shí) t=0， 物塊位于未變形的梁上 其坐標(biāo) mm2st0 ???? ?x 重物初速度 00 ??則振幅為 22 00 202vAx ?? ? ? mm初相角 000πa r c t a n a r c t a n ( )2xv?? ? ? ? ? ? ?最后得系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為 mm)70c os (2 tx ??例 4－ 3 已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)球質(zhì)量為 m。 擺對(duì)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 彈簧剛度系數(shù)為 k。 桿于水平位置 平衡。 求：此系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及振動(dòng)固有頻率。 解： 擺于水平平衡處， 彈簧已有壓縮量 0?由平衡方程 0)( ??iO FM ?dkm g l 0??以平衡位置為原點(diǎn)， 擺繞軸 O的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 ddkm gltJ ???? )(dd 022????? 222dd kdtJ ??Jkd?0?例 4－ 4 已知：如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑 皆為 R， 半徑為 r的鼓輪上繞有細(xì)繩。輪 I連一鉛 直彈簧，輪 II掛一重物，塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆 為 J， 彈簧剛度系數(shù)為 k， 重物質(zhì)量為 m。 求：此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率。 解： 以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取 x軸如圖。 22 )(21221rxJxmT ?? ???系統(tǒng)的勢(shì)能為 221 kxV ?不計(jì)摩擦， 由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 ????? 2222 2121 kxxrJxmVT ?? 常數(shù) 系統(tǒng)動(dòng)能為 上式兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得 0)2( 2 ??? xkxxxr Jm ????0)2( 2 ??? kxxr Jm ??－－自由振動(dòng)微分方程 系統(tǒng)的固有頻率為 Jmrkr2220 ???如圖所示無阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 當(dāng)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s i n ( 0 ?? ?? tAx速度為 00c o s ( )xv A tt ? ? ?? ? ?dd在瞬時(shí) t 物塊的動(dòng)能為 2 2 2 20011 c o s ( )22T m v m A t? ? ?? ? ?167。 4－ 2 計(jì)算固有頻率的能量法 若選平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，有 PxxkV ???? ])[(21 2st2st ??Pk ?st?)(s i n2121 0222 ?? ??? tkAkxV 對(duì)于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果以平 衡位置為零勢(shì)能位置，則重力勢(shì)能與彈性力 勢(shì)能之和，相當(dāng)于由平衡位置處計(jì)算變形的 單獨(dú)彈性力的勢(shì)能。 當(dāng)物體處于平衡位置（振動(dòng)中心）時(shí)，物塊具有最大動(dòng)能 220m a x 21 AmT ??當(dāng)物塊處于偏離振動(dòng)中心的極端位置時(shí)，系統(tǒng)具有最大勢(shì)能 2m a x 21 kAV ?由機(jī)械守恒定律 m axm ax VT ?可得系統(tǒng)的固有頻率 mk /0 ??例 4－ 5 求：系統(tǒng)作微振動(dòng)時(shí)的固有頻率。 已知：如圖振動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿 OA對(duì)鉸鏈點(diǎn) O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J， 桿的點(diǎn) A和 B各安置一個(gè)彈簧，剛度系數(shù)分別為 和 。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。 1k2k解： )s in ( 0 ??? ?? tΦ系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)擺桿的最大角速度 Φ0m ax ?? ??系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 220m a x 21 ΦJT ??選擇平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn) 最大勢(shì)能為 222212221m a x )(21)(21)(21 Φdklkd ΦklΦkV ????即 22221220 )(2121 ΦdklkΦJ ???解得固有頻率 Jdklk 22210???由機(jī)械能守恒定律有 m axm ax VT ?例 4－ 6 求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動(dòng)的固有頻率。 已知：如圖表示一質(zhì)量為 m， 半徑為 r的圓柱體， 在一半徑為 R的圓弧槽上作無滑