【正文】 12st1stst kkmg ???? ???若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為 eqk則有 eqst / kmg??比較上面兩式得 21eq111kkk ?? 2121eq kkkkk??固有頻率為 )( 2121eq0 kkmkkmk????當(dāng)兩個彈簧串聯(lián)時，其等效彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù) 等于兩個彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的和。 當(dāng)物體處于平衡位置（振動中心）時，物塊具有最大動能 220m a x 21 AmT ??當(dāng)物塊處于偏離振動中心的極端位置時，系統(tǒng)具有最大勢能 2m a x 21 kAV ?由機(jī)械守恒定律 m axm ax VT ?可得系統(tǒng)的固有頻率 mk /0 ??例 4－ 5 求：系統(tǒng)作微振動時的固有頻率。 dT求：圓盤所受阻力偶矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系 解： 設(shè) ???M ? 為阻力偶系數(shù) 圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動微分方程為 tJk? ? ? ?? ? ? t 0kJJ?? ? ?? ? ?d2t2 π()2TkJJ???2 2 2dd2 4 πtT k J JT? ??220002 π 2 π11 ( )T ? ????? ??d ζ例 4－ 8 求：系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)和阻力系數(shù)各為多少。 解： 設(shè)任一瞬時剛桿的擺角為 ?系統(tǒng)的運動微分方程為 tlFkllm ??? s i n)2( 022 ?????令 mklmkl 4)2( 2220 ???mlFlmlFh 020 4)2(??th ???? s i n20 ????可得上述方程的特解，即受迫振動為 th ???? s i n220 ??將 代入上式 021 ?? ?tklFtmkmlFth????? s i n34s i n4434s i n430020???例 4－ 10 求：當(dāng)電機(jī)以勻速角速度 ω 旋轉(zhuǎn)時，系統(tǒng)的受迫振動規(guī)律。 相位差 ε 隨激振力頻率變化曲線如圖 )s in (2 ?? ?? tbx2202t a n???????例 4－ 12 已知：如圖為一無重剛桿，其一端鉸支，距鉸支端 l處有 一質(zhì)量為 m的質(zhì)點，距 2l處有一阻尼器，其阻力系 數(shù)為 c， 距 3l處有一剛度系數(shù)為 k的彈簧。 由振源產(chǎn)生的激振力 隔振： 將振源和需要防振的物體之間用彈性元件和阻尼 元件進(jìn)行隔離。當(dāng)小車連同重物 B 以勻速度 碰上緩沖器后。 問：重塊距中點的距離 l 應(yīng)等于多少時減振器的減振 效果最好。 已知：如圖表示一具有兩個集中質(zhì)量 的簡支梁 21 mm，在質(zhì)量 處梁的影響系數(shù)分別為 21 mm， 2211 ?? ，和 ， 2112 ?? ，解： 這是兩個自由度的振動系統(tǒng) 慣性力分別為 ， 11xm?? 22xm??根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和材料力學(xué)中的變形疊加原理 由兩個慣性力在 和 處產(chǎn)生的撓度分別為 1m 2m)()()()(222211212221211111xmxmxxmxmx????????????????????整理得系統(tǒng)的運動微分方程 ?????????00222221121122121111xxmxmxxmxm???????????? （ a） 令 222111222121111212 11memdmmcmmb?????? ???? ， （ b） 則方程（ a）可改寫為 00 221121 ?????? exxxcdxxbx ???????? ，（ c） 設(shè)上述方程解的形式為 )s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，（ d） 將式（ d）代入方程（ c）得 0)(0)( 2222 ??????? BeAcBbAd ???? ，（ e） 頻率方程為 02222?????????ecbd將行列式展開，得 0)()1( 24 ????? ededbc ??解此代數(shù)方程， 得到關(guān)于頻率 的兩個根 2?)1(2)1(4)()( 222,1 cbdecbeded?????? ?? （ f） 整理得 )1(24)()( 222,1 cbb c d eeded????? ?? （ g） 可以證明 的兩個根都是正實根 2?和 為系統(tǒng)的兩個固有頻率 1? 2?振幅比為 12121212111 1????? ?????cedbBA （ h） 22222222222 1????? ?????cedbBA （ i） 同樣可證明 和 01 ?? 02 ??這樣可以畫出第一主振型和第二主振型如圖 b， c所示 設(shè) mmm ?? 21431lll ??212 ?l則根據(jù)材料力學(xué)公式可計算出 EIlEIl7 6 877 6 893211232211????????其中 EI為梁截面的抗彎剛度 再將上述表達(dá)式代入式（ g）中 得 3231 mlEImlEI ?? ?? ，再由式（ h）和（ i）解得振幅比為 11222111 ????? ABAB ?? ，梁對于其中點具有對稱和反對稱的兩個主振型 將上式代入公式（ b）得 397 6 897mlEIdebc ???? ，例 4－ 15 已知：均質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為 m， 長為 l， 由兩個剛度系數(shù)皆 為 k的彈簧對稱支承。 記為 crn167。 （ 1）當(dāng) 時 0?? ??當(dāng)作無阻尼受迫振動處理。 0?? ?當(dāng) 時 0?? ?沒有意義 微分方程式的特解應(yīng)具有下面的形式 )c o s ( 02 ?? ?? tBtx02/ ?hB ??220 ?? ?? hb代入 )s i n(dd 2022??? ??? thxt x當(dāng) 時，系統(tǒng)共振。 是否為周期振動呢？ 仍具有振動的特點。 求：此系統(tǒng)振動的固有頻率。 167。 求：系統(tǒng)的振動規(guī)律。 解： 1 ()Ov R r ???rrR /)( ?? ???系統(tǒng)的動能為 1122 2 2 2221 1 1 1 ( )[ ( ) ] ( ) [ ]2 2 2 2 23()4OOm r R rT m v J m R rrmRr?????? ? ? ? ???系統(tǒng)的勢能為 2s i n)(2)c o s1)((2 ?? rRmgrRmgV ?????當(dāng)圓柱體作微振動時， 可認(rèn)為 22s in?? ?2)(21 ?rRmgV ??設(shè)系統(tǒng)作自由振動時 θ的變化規(guī)律為 )s in (0 ??? ?? tA則系統(tǒng)的最大動能 2202m a x )(43 ArRmT ???系統(tǒng)的最大勢能 2m a x )(21 ArRmgV ??由機(jī)械守恒定律 有 m axm ax VT ?解得系統(tǒng)的固有頻率為 )(320 rRg??? 167。 簡諧激振力是一種典型的周期變化的激振力 )s i n( ?? ?? tHF其中： H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值； ω 是激振力的角頻率； ? 是激振力的初相角； 恢復(fù)力 kxF ??e質(zhì)點的運動微分方程為 )s i n(dd 22?? ???? tHkxt xmmHhmk ?? ，20?)s i n(dd 2022??? ??? thxt x取物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點，x軸向下為正。 已知：如圖為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為 m， 彈簧剛度系數(shù) k， 測振儀放在振動物體表面， 將隨物體而運動。 當(dāng) 時 0???kmclFlcFhb44320000??? ???質(zhì)點的振幅 kmcFlbB40??222220 4)( ???? ???hb167。 質(zhì)點運動微分方程為 )()( 11 xxcxxkxm ???? ?????11 xckxkxxcxm ???? ????將 的表達(dá)式代入 1xtdctkdkxxcxm ??? c oss i n ???? ???)s i n( ?? ???? tHkxxcxm ???其中 222 ?ckdH ??kc?? a r c t a n?方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動）為 )s i n( ?? ?? tbx2222222)( ???cmkckdb????寫成綱量為 1的形式 222222ζ4)1(ζ41sssdb???????其中 是振動物體的位移與地基激振動位移之比 ??稱為 位移的傳遞率 例 4－ 13 求：汽車以速度 v=45km/h勻速前進(jìn)時，車體的垂 直振幅為多少？汽車的臨界速度為多少？ 已知：如圖為一汽車在波形路面行走的力學(xué)模型， 其中幅度的 d=25mm， 波長 l=5m， 汽車質(zhì) 量為 m=3000kg， 彈簧剛度系數(shù)為 k=294kN/m， 忽略阻尼。 由此可見兩個自由度系統(tǒng)有兩個共振頻率。 cddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??當(dāng) 或 時 1?? ? 2?ddBA 21??? 或 dd 22??當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生各階共振時，受迫振動是各階主振型。 4－ 8 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 例子：汽車的振動 ??