【正文】 量為 m=3000kg， 彈簧剛度系數(shù)為 k=294kN/m， 忽略阻尼。 路面的波形用公式 表示， 12 πsiny d xl?解： x vt?12 π 2 πs in s in vy d x d tll? ? ?令 則 2πvl? ?tdy ?s in1 ?其中 ω 相當于位移激振頻率 x以汽車起始位置為坐標原點，路面波形方程可以寫為 2 π 2 π 1 2 . 5 m /s 5 π r a d /s5mvl??? ? ?系統(tǒng)的固有頻率為 r a d/ 1000N / m2940 ???? mk?激振頻率與固有頻率的頻率比為 50??? ???s求得位移傳遞率為 )1( 1 22 ????? sdb?因此振幅 ????? db ?當 時系統(tǒng)發(fā)生共振 有 0?? ?02 π vl????cr解得臨界速度 0 5 m 9 . 9 r a d /s 7 . 8 8 m /s 2 8 . 4 k m /h22 π r a dlv ???? ? ? ?cr167。 4－ 8 兩個自由度系統(tǒng)的自由振動 例子：汽車的振動 ??????????00)(221222221211xkxkxmxkxkkxm????上式是一個二階線性齊次微分方程組 兩個物塊的運動微分方程 )()(122221221111xxkxmxxkxkxm???????????2212121mkdmkcmkkb ???? ，令 上列方程組的解為 00 212211 ?????? dxdxxcxbxx ???? ，)s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，其中： A、 B是振幅； ω 為角頻率 將上式代入 0)s i n ()s i n ()s i n (0)s i n ()s i n ()s i n (22????????????????????????????tdBtdAtBtcBtbAtA00 212211 ?????? dxdxxcxbxx ???? ，整理后得 0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，系統(tǒng)發(fā)生振動時，方程具有非零解 則方程的系數(shù)行列式必須等于零 022???????ddcb －－ 頻率行列式 0)()( 24 ????? cbddb ??－－系統(tǒng)的本征方程，稱為 頻率方程 )()2(2 22 2,1 cbddbdb ????? ??整理得 cddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??其中第一根 較小，稱為 第一固有頻率 。 1?其中第二根 較大，稱為 第二固有頻率 。 2?結(jié)論 兩個自由度系統(tǒng)具有兩個固有頻率，這兩個固有頻率 只與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù)有關(guān)，而與振動的初始 條件無關(guān)。 對應于頻率 的振幅為 1? 11 BA，對應于頻率 的振幅為 2? 22 BA，1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBAcddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，其中 和 為比例常數(shù) 1? 2?對應于第一固有頻率 的振動稱為第一主振動 1?它的運動規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 1111)1(2111)1(1 ????? ???? tAxtAx ，對應于第二固有頻率 的振動稱為第二主振動 2?它的運動規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 2222)2(2222)2(1 ????? ???? tAxtAx ，cddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBA各個主振動中兩個物塊的振幅比 0])2(2[10])2(2[1222222221111??????????????????cddbdbccbABcddbdbccbAB????圖 b表示在第一主振動中振動形狀 稱為 第一主振型 圖 c表示在第二主振動中振動形狀 稱為 第二主振型 圖 c中的點 C是始終不振動的節(jié)點 主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān) 而與振動的初始條件無關(guān)因此主振型也叫 固有振型 . 自由振動微分方程的全解為 第一主振動與第二主振動的疊加 即 )s i n()s i n()s i n()s i n(2222111122221111??????????????????tAtAxtAtAx其中包含 4個待定常數(shù) 2121 ?? ，， AA它們應由運動的 4個初始條件 確定 20222022 xxxx ?? ，，例 4－ 14 求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 梁的質(zhì)量忽略不計。 已知：如圖表示一具有兩個集中質(zhì)量 的簡支梁 21 mm，在質(zhì)量 處梁的影響系數(shù)分別為 21 mm， 2211 ?? ，和 ， 2112 ?? ，解： 這是兩個自由度的振動系統(tǒng) 慣性力分別為 ， 11xm?? 22xm??根據(jù)達朗貝爾原理和材料力學中的變形疊加原理 由兩個慣性力在 和 處產(chǎn)生的撓度分別為 1m 2m)()()()(222211212221211111xmxmxxmxmx????????????????????整理得系統(tǒng)的運動微分方程 ?????????00222221121122121111xxmxmxxmxm???????????? （ a） 令 222111222121111212 11memdmmcmmb?????? ???? ，， （ b） 則方程（ a）可改寫為 00 221121 ?????? exxxcdxxbx ???????? ，（ c） 設上述方程解的形式為 )s i n ()s i n ( 21 ???? ???? tBxtAx ，（ d） 將式（ d）代入方程（ c）得 0)(0)( 2222 ??????? BeAcBbAd ???? ，（ e） 頻率方程為 02222?????????ecbd將行列式展開，得 0)()1( 24 ????? ededbc ??解此代數(shù)方程， 得到關(guān)于頻率 的兩個根 2?)1(2)1(4)()( 222,1 cbdecbeded?????? ?? （ f） 整理得 )1(24)()( 222,1 cbb c d eeded????? ?? （ g） 可以證明 的兩個根都是正實根 2?和 為系統(tǒng)的兩個固有頻率 1? 2?振幅比為 12121212111 1????? ?????cedbBA （ h） 22222222222 1????? ?????cedbBA （ i） 同樣可證明 和 01 ?? 02 ??這樣可以畫出第一主振型和第二主振型如圖 b， c所示 設 mmm ?? 21431lll ??212 ?l則根據(jù)材料力學公式可計算出 EIlEIl7 6 877 6 893211232211????????其中 EI為梁截面的抗彎剛度 再將上述表達式代入式（ g）中 得 3231 mlEImlEI ?? ?? ，再由式（ h）和（ i）解得振幅比為 11222111 ????? ABAB ?? ，梁對于其中點具有對稱和反對稱的兩個主振型 將上式代入公式（ b）得 397 6 897mlEIdebc ???? ，例 4－ 15 已知：均質(zhì)細桿質(zhì)量為 m， 長為 l， 由兩個剛度系數(shù)皆 為 k的彈簧對稱支承。 求：此系統(tǒng)的固有頻率和固有振型。 解： 2211 kxFkxF ?? ，此時細桿的質(zhì)心坐標為 )(21 21 xxx C ?? （ a） 細桿繞質(zhì)心 C 的微小轉(zhuǎn)角 )(1 21 xxd ??? （ b） 列出細桿的平面運動微分方程 ddkdFdFJxxkFFcxmC ?? 222)(212121??????????????????將式（ a）和式（ b）代入上兩式 注意 122mlJ C ? 則可整理為 00 21212121 ???????? cxcxxxbxbxxx ???????? ，（ c） 其中 2262mlkdcmkb ?? ，只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時 可取振動的初始角 θ =0 而設式（ c）的解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ， （ d） 將上式代入式（ c） 消去 得 t?sin0))((0))(( 22 ?????? BAcBAb ?? ，（ e） 22222162mlkdcmkb ???? ?? ， （ f） 當 時 b?21? 為使式（ e）中兩個方程都滿足 11 BA ?這是對應于直桿上下平動的固有振型 當 時 c?22? 為使式（ e）中兩個方程都滿足 22 BA ??這是對應于質(zhì)心不動而繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的固有振型 如果直接取質(zhì)心位移 和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角 Cx ?為