【正文】 力 dF? txccF ddd ???? ?簡(jiǎn)諧激振力 F? tHF ?s in?質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 tHtxckxt xm ?s i ndddd 22????令 mk?20? mc??2mHh?thxtxt x ??? s i ndd2dd 2022???－－ 有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解由兩部分組成 21 xxx ??在欠阻尼 的狀態(tài)下有 )( 0?? ?2210e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?)s in (2 ?? ?? tbxthxtxt x ??? s i ndd2dd 2022???其中 ε 表示受迫振動(dòng)的相位角落后于激振力的相位角 )c o s (s i n)s i n (c o s])s i n [ (s i n?????????????????thththth0)c o s (]s i n2[)s i n (]c o s)([ 220 ??????? ?????????? thbthb對(duì)任意瞬時(shí) t， 上式都必須是恒等式 0c o s)( 220 ??? ??? hb0s in2 ?? ??? hbthtbtbtb ??????????? s i n)s i n ()c o s (2)s i n ( 202 ???????將上述兩方程聯(lián)立可解出 222220 4)( ???? ??? hb2202t a n???????于是得方程的通解為 220e s i n ( ) s i n ( )tx A t b t? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?其中 A和 θ 為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。并作用一 簡(jiǎn)諧激振力 。 ?OArA ?設(shè)轉(zhuǎn)軸安裝于圓盤(pán)的中點(diǎn)。 減振： 使振動(dòng)物體的振動(dòng)減弱的措施。 2?結(jié)論 兩個(gè)自由度系統(tǒng)具有兩個(gè)固有頻率，這兩個(gè)固有頻率 只與系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度等參數(shù)有關(guān)，而與振動(dòng)的初始 條件無(wú)關(guān)。 左側(cè)彈簧是一緩沖器，剛度系數(shù)為 k=， 其質(zhì)量為 kg22201 ?m其質(zhì)量為 kg2 0 4 02 ?m0 1m /sv ?解： 應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程 視小車(chē)和重物為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 則系統(tǒng)動(dòng)能為 22121122ABT m v m v??其中 Avx?廣義坐標(biāo)：小車(chē)的水平位移 x 繩 AB偏離鉛直的角度 ?2 2 2 2 2 22 c o s 2 c o sB A r A rv v v v v x l x l? ? ? ?? ? ? ? ? ?)c o s2(21)(21 222221 ??? xllmxmmT ???? ????系統(tǒng)的勢(shì)能等于彈簧勢(shì)能與重力勢(shì)能的和 )c o s1(21 22 ???? glmkxV)co s(s i n 222 ?????? xllmTxlmT ????? ???????? ，??????? s i n)s i nco s()(dd 22 glmVxxllmTt ???????? ，????????? c o s)(0 221 ??? lmxmmxTxT ???????? ，kxxVlmlmxmmxTt ????????? ，???? s i nc o s)()(dd 22221 ??????偏角 很小， ? 1c oss in ?? ??? ， 并略去 2??如下線性微分方程組 ??????????00)( 221???glxkxlmxmm???????? （ a） 設(shè)上述方程組的解為 )s i n()s i n( ????? ???? tBtAx ， （ b） 將所設(shè)解（ b）代入式（ a）中 并令 21 mmm ??0)(0)( 22222 ??????? BlgABlmAmk ???? ，（ c） 頻率方程為 0))(( 22222 ????? ???? lmlgmk或 01214 ????lmkglmklmg ??令 clmkgblm klmg ???11，024 ??? cb ??cbbcbb ?????? 222221 )2(2)2(2 ?? ，代入題設(shè)數(shù)據(jù)，得系統(tǒng)的兩個(gè)固有頻率為 r a d/ a d/ s8 3 21 ?? ?? ，12121221111 ???????????lglmmkAB22222222222 ????????????lglmmkAB0)(0)( 22222 ??????? BlgABlmAmk ???? ，系統(tǒng)的兩個(gè)主振動(dòng)為 ???????????)s i n ()s i n ()s i n ()s i n (222222222111111111????????????tAtAxtAtAx，（ d） 系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律為 ???????????)s i n ()s i n ()s i n ()s i n (22221111222111???????????tAtAtAtAx （ e） 現(xiàn)在來(lái)確定 4個(gè)數(shù)值 2121 ?? ， AA將式（ e）取一階導(dǎo)數(shù)得 ???????????)c o s ()c o s ()c o s ()c o s (222221111122221111???????????????tAtAtAtAx?? （ f） 初始條件： t=0時(shí) 0m / s100 00000 ????? ??? ?? ， xx將它們代入式（ e）和（ f）中 解得 021 ?? ??)()(122102121201 ??????? ?????????? AA ，因此 ,小車(chē)和重物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 ttx i i ??tt i i ???167。 設(shè)如圖所示系統(tǒng)中， 21 kk ? 21 2mm ?20202 ?? ??? cdb ，其中 是沒(méi)有 時(shí) 110 mk?? 2m主質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率 實(shí)例： 12212121mHhmkdmkcmkkb ????? ，0))(( 2222?????????cddbddcb????20222021 8 ???? ?? ，kHb ?01)(2112)(211)/1)(/1()/1)((220202220?????????????????????????cdbbdcbbA??????????1)(21121200???bBcddbdhA?????))(()(222???cddbhdB???? ))(( 22 ??振幅比 αβ 隨頻率比 變化的關(guān)系曲線如圖所示 0/??22mkd ???即激振力頻率等于減振器 本身的固有頻率時(shí) 2m振幅 A=0 而振幅 B= 0b但與激振力反相位 此時(shí)質(zhì)量 振動(dòng)而主質(zhì)量 不動(dòng)， 2m 1m故稱為 動(dòng)力減振 如果一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)受到一個(gè)頻率不變的激振力作用而 發(fā)生振動(dòng)，則可在這振動(dòng)系統(tǒng)上安裝一個(gè)動(dòng)力減振器 來(lái)減小甚至消除這種振動(dòng)。 此外還有沖擊減振器 如圖所示 例 4－ 17 已知：電機(jī)的轉(zhuǎn)速為 1500r/min， 由于轉(zhuǎn)子不平衡使機(jī)殼 發(fā)生較大的振動(dòng)，為減少機(jī)殼的振動(dòng)，機(jī)殼上安 裝數(shù)個(gè)如圖的動(dòng)力減振器，該減振器由一鋼制圓 截面彈性桿和兩個(gè)安裝在桿兩端重塊組成，桿的 中部固定在機(jī)殼上，重塊到中點(diǎn)的距離 l可用螺桿 來(lái)調(diào)節(jié)，重塊質(zhì)量為 m=5kg， 圓桿的直徑 D=20mm。動(dòng)力減振器 如圖所示是一個(gè)無(wú)阻尼系統(tǒng) 在主質(zhì)量 上作用有激振力 1m tH ?s in小質(zhì)量 以剛度系數(shù)為 的彈簧與主質(zhì)量連接 2m2k可用來(lái)減小 的振動(dòng)，稱為 動(dòng)力減振器 。 梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。 ,而頻率相同 0???s0crζ ???? cckHhb ??200 ?它們可以合成為一個(gè)同頻率的合力，合力的最大值為 222 m a xd2 m a xem a xN )()( ?cbkbFFF ????22m a xN ζ41 skbF ??它與激振力的力幅 H之比為 222222m a xNζ4)1(ζ41sssHF??????其中 η 稱為 力的傳遞率 在不同阻尼情況下傳遞率 η 與頻率比 s 之間的關(guān)系曲線 將需要防振的物體與振源隔開(kāi)稱為 被動(dòng)隔振 。 記為 cr?此時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為 臨界轉(zhuǎn)速 。 tFF ?s in0?試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程， 并求系統(tǒng)的固有頻率 0?以及當(dāng)激振力頻率 ω 等于 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。 220e s i n ( ) s i n ( )tx A t b t? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?有阻尼受迫振動(dòng)包括兩部分 衰減振動(dòng) 過(guò)渡過(guò)程 ?受迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)過(guò)程 ?振動(dòng)頻率＝激振力的頻率 振幅頻率關(guān)系曲線 橫軸表示頻率比 0???s縱軸表示振幅比 0bb??0crζ ???? cc222220 4)( ???? ??? hb影響振幅的因素：激振力的力幅、頻率、 m、 k和 c。 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， 電機(jī)軸心的坐標(biāo)為 x。 將縱軸取為 0bb?? 橫軸取為 0??? ?振幅頻率曲線如圖所示 當(dāng) 時(shí)，即 激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí) ， 振幅 b在理論上應(yīng)趨向無(wú)窮大，這種現(xiàn)象稱為 共振 。 981 0 01 ??ii AA解： 對(duì)數(shù)減縮為 98100lnln1????iiAAΛ阻尼比為 0 . 0 0 3 2 1 52 πΛ??ζ系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)為 s / mN20N / ????? mkc阻力系數(shù) s / mN0 6 4 cr ??? cc167。 －－