【正文】 設為 rtex ?本征方程 02 202 ??? ?? rr方程的兩個根為 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r通解為 trtr eCeCx 21 21 ?? 0?? ? mkc 2?欠阻尼狀態(tài) 本方程的兩個根為共軛復數(shù) 2201 i ??? ????r 2202 i ??? ????r220e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?e s i n ( )tx A t? ????? d其中 A和 θ 為兩個積分常數(shù)，由運動的初始條件確定。 d 212 πl(wèi) n 2 π1iiAΛ TA ??? ? ? ??ζ ζζ )1ζ(0 ?? ?? 臨界阻尼狀態(tài) crc－－ 臨界阻力系數(shù) mkc 2cr ?本征方程的根為兩個相等的實根 ???1r ???2r微分方程的解為 12e ( )tx C C t????是否具有振動的特點？ 其中 和 為兩個積分常數(shù)， 1C 2C 由運動的起始條件決定。 使系統(tǒng)發(fā)生自由振 動，測得其相鄰兩個振幅比 。 令 齊次方程的通解為 )s in ( 01 ?? ?? tAx設特解有如下形式 )s in (2 ?? ?? tbx 其中 b為待定常數(shù) 將 代入方程 2x)s i n ()s i n ()s i n ( 202 ???????? ?????? thtbtb220 ?? ?? hb全解為 )s i n ()s i n ( 2200 ?????? ????? thtAx)s i n(dd 2022??? ??? thxt x)s in(dd 2022 ??? ??? thxt x上式表明 無阻尼受迫振動是由兩個諧振動合成的。 220 ?? ?? hb)s i n (2202 ????? ???? thx振幅 b與激振力頻率 ω 之間的關系曲線稱為 振幅頻率曲線 ， 又稱為 共振曲線 。 其運動圖線如圖所示 它的幅值為 thb02??)c o s (2 002 ??? ??? tthx共振時受迫振動的運動規(guī)律為 例 4－ 9 已知：如圖長為 l無重杠桿 OA， 其一端 O 鉸支，另一端 A水 平懸掛在剛度系數(shù)為 k的彈簧上，桿的中點裝有一質 量為 m的小球，若在點 A 加一激振力 ， 其中激振力的頻率 ， tFF ?s in0?021 ?? ? 0? 為系統(tǒng)的固有頻率 忽略阻尼。 1m 偏心塊的質量為 2m解： 質點系動量定理 kxmt ixi ??? )(dd ?kxtextmtxmt ???? )]s i n(dddd[dd 21 ?質點系包括電機和偏心塊。設被測物體的振動規(guī)律為 tes ?s in?解： 測振儀隨被測物而振動，則其彈簧懸掛點的運動規(guī)律是 tes ?s in?取 t=0時物塊的平衡位置為坐標原點 O 取 x 軸如圖 sx ???st??物塊絕對運動的微分方程為 tkekxxm ?s i n????（ a） 物塊的受迫振動形式為 tbx ?s in?此時激振力的力幅為 H=ke b為物塊絕對運動的振幅 由于測振儀殼體也在運動，其振幅為 e。 受簡諧振動力作用的受迫振動仍然是諧振動。 20220 212 ????? ????振幅 b具有最大值 maxb這時的頻率稱為 共振頻率。剛桿在水平位置平衡。 4－ 6 轉子的臨界轉速 使轉子發(fā)生激烈振動的特定轉速－－ 臨界轉速 。 圓盤慣性力： OCmFI ?? 2?彈性恢復力： AkrF ?0??mk2202?????erA)(22 ermOCmkr AA ???? ??22??mkemrA ??使轉軸撓度異常增大的轉動角速度 －－ 臨界角速度 。 主動隔振是將振源與支持振源的基礎 隔離開來。 tHtF ?s in)( ?按有阻尼受迫振動的理論 物塊的振幅為 22220222220 ζ4)1(4)( ssbhb??????????彈簧變形而作用于基礎上的力 )s i n (e ?? ??? tkbkxF通過阻尼元件作用于基礎的力 )c o s (d ??? ??? tcbxcF ?這兩部分力相位差為 90176。 路面的波形用公式 表示， 12 πsiny d xl?解： x vt?12 π 2 πs in s in vy d x d tll? ? ?令 則 2πvl? ?tdy ?s in1 ?其中 ω 相當于位移激振頻率 x以汽車起始位置為坐標原點，路面波形方程可以寫為 2 π 2 π 1 2 . 5 m /s 5 π r a d /s5mvl??? ? ?系統(tǒng)的固有頻率為 r a d/ 1000N / m2940 ???? mk?激振頻率與固有頻率的頻率比為 50??? ???s求得位移傳遞率為 )1( 1 22 ????? sdb?因此振幅 ????? db ?當 時系統(tǒng)發(fā)生共振 有 0?? ?02 π vl????cr解得臨界速度 0 5 m 9 . 9 r a d /s 7 . 8 8 m /s 2 8 . 4 k m /h22 π r a dlv ???? ? ? ?cr167。 對應于頻率 的振幅為 1? 11 BA，對應于頻率 的振幅為 2? 22 BA，1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBAcddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??0)(0)( 22 ??????? BddAcBAb ?? ，其中 和 為比例常數(shù) 1? 2?對應于第一固有頻率 的振動稱為第一主振動 1?它的運動規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 1111)1(2111)1(1 ????? ???? tAxtAx ，對應于第二固有頻率 的振動稱為第二主振動 2?它的運動規(guī)律為 )s i n ()s i n ( 2222)2(2222)2(1 ????? ???? tAxtAx ，cddbdb ???? 22 2,1 )2(2 ??1212111 1??? ????? ddbcBA2222222 1??? ????? ddbcBA各個主振動中兩個物塊的振幅比 0])2(2[10])2(2[1222222221111??????????????????cddbdbccbABcddbdbccbAB????圖 b表示在第一主振動中振動形狀 稱為 第一主振型 圖 c表示在第二主振動中振動形狀 稱為 第二主振型 圖 c中的點 C是始終不振動的節(jié)點 主振型和固有頻率一樣都只與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關 而與振動的初始條件無關因此主振型也叫 固有振型 . 自由振動微分方程的全解為 第一主振動與第二主振動的疊加 即 )s i n()s i n()s i n()s i n(2222111122221111??????????????????tAtAxtAtAx其中包含 4個待定常數(shù) 2121 ?? ， AA它們應由運動的 4個初始條件 確定 20222022 xxxx ?? ，例 4－ 14 求：系統(tǒng)的固有頻率和主振型。 解： 2211 kxFkxF ?? ，此時細桿的質心坐標為 )(21 21 xxx C ?? （ a） 細桿繞質心 C 的微小轉角 )(1 21 xxd ??? （ b） 列出細桿的平面運動微分方程 ddkdFdFJxxkFFcxmC ?? 222)(212121??????????????????將式（ a）和式（ b）代入上兩式 注意 122mlJ C ? 則可整理為 00 21212121 ???????? cxcxxxbxbxxx ???????? ，（ c） 其中 2262mlkdcmkb ?? ，只求系統(tǒng)的固有頻率和固有振型時 可取振動的初始角 θ =0 而設式（ c）的解為 tBxtAx ?? s i ns i n 21 ?? ， （ d） 將上式代入式（ c） 消去 得 t?sin0))((0))(( 22 ?????? BAcBAb ?? ，（ e） 22222162mlkdcmkb ???? ?? ， （ f） 當 時 b?21? 為使式（ e）中兩個方程都滿足 11 BA ?這是對應于直桿上下平動的固有振型 當 時 c?22? 為使式（ e）中兩個方程都滿足 22 BA ??這是對應于質心不動而繞質心轉動的固有振型 如果直接取質心位移 和繞質心的轉角 Cx ?為系統(tǒng)的兩個獨立坐標 則直桿的平面運動微分方程為 ??? 2222kdddkJkxcxm CC ?????? ???? ，（ g） 上式是對 和 互相獨立的兩個微分方程 Cx ?系統(tǒng)的兩個固有振型 隨同質心的平移位移 繞質心轉動的角位移 Cx?Cx ?和 稱為此系統(tǒng)的兩個 主坐標 例 4－ 16 求：小車和重物的運動。 4－ 9 兩個自由度系統(tǒng)的受迫振動 （ 3） ddBA 2???即二物塊振幅之比與干擾力頻率有關 不再是自由振動的主振型。 －－ 無阻尼減振器 有阻尼動力減振器 它的減振作用主要是靠阻尼元件在振動過程中， 吸收振動能量來達到減振的目的