【正文】 阻尼情況下傳遞率 η 與頻率比 s 之間的關(guān)系曲線 將需要防振的物體與振源隔開稱為 被動(dòng)隔振 。 如圖所示為主動(dòng)隔振的簡(jiǎn)化模型。 記為 cr?此時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為 臨界轉(zhuǎn)速 。 單圓盤轉(zhuǎn)子：質(zhì)量 m， 質(zhì)心為 C， 圓盤與軸的交點(diǎn)為 A， 偏心距為 e＝ AC。 tFF ?s in0?試列出系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程， 并求系統(tǒng)的固有頻率 0?以及當(dāng)激振力頻率 ω 等于 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的振幅。 220m a x 2 ??? ??hb20m a x ζ1ζ2 ??bb在一般情況下 阻尼比 1ζ??共振頻率 0?? ?共振的振幅為 ζ20maxbb ?（ 3）當(dāng) 時(shí) 0?? ??阻尼對(duì)受迫振動(dòng)的振幅影響也較小 將系統(tǒng)當(dāng)作無阻尼系統(tǒng)處理 有阻尼受迫振動(dòng)的相位角，總比激振力落后一個(gè)相 位角 ε， ε稱為 相位差 。 220e s i n ( ) s i n ( )tx A t b t? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?有阻尼受迫振動(dòng)包括兩部分 衰減振動(dòng) 過渡過程 ?受迫振動(dòng) 穩(wěn)態(tài)過程 ?振動(dòng)頻率＝激振力的頻率 振幅頻率關(guān)系曲線 橫軸表示頻率比 0???s縱軸表示振幅比 0bb??0crζ ???? cc222220 4)( ???? ??? hb影響振幅的因素：激振力的力幅、頻率、 m、 k和 c。 記錄紙上畫出的振幅為物塊相對(duì)于測(cè)振儀的振幅 eba ??20220220 )(1)(?????? ??????emkehb當(dāng) 時(shí) ?? ??0 0?b 有 ea ?記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測(cè)物體的振幅。 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， 電機(jī)軸心的坐標(biāo)為 x。 求：系統(tǒng)的受迫振動(dòng)規(guī)律。 將縱軸取為 0bb?? 橫軸取為 0??? ?振幅頻率曲線如圖所示 當(dāng) 時(shí)，即 激振力頻率等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí) ， 振幅 b在理論上應(yīng)趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為 共振 。 第一部分是頻率為固有頻率的自由振動(dòng) 第二部分是頻率為激振力頻率的振動(dòng) －－ 受迫振動(dòng) )s i n ( 01 ?? ?? tAx)s i n (2202 ???? ??? thx （ 1）若 0?? 即激振力為一恒力， 此時(shí)并不振動(dòng) 所謂的振幅 實(shí)為 靜力 H 作用下的靜變形 0bkHhb ??200 ?220 ?? ?? hb（ 2）若 00 ?? ??振幅 b 隨著頻率 ω 單調(diào)上升 當(dāng) ω 接近 時(shí)， 0? 振幅 b 將趨于無窮大。 981 0 01 ??ii AA解： 對(duì)數(shù)減縮為 98100lnln1????iiAAΛ阻尼比為 0 . 0 0 3 2 1 52 πΛ??ζ系統(tǒng)的臨界阻力系數(shù)為 s / mN20N / ????? mkc阻力系數(shù) s / mN0 6 4 cr ??? cc167。 物體的運(yùn)動(dòng)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無限地趨向平衡位置 因此運(yùn)動(dòng)已不具有振動(dòng)的特點(diǎn) )1ζ(0 ?? ?? 過阻尼狀態(tài) 阻力系數(shù) crcc ?本征方程的根為兩個(gè)不等的實(shí)根 2021 ??? ????r 2022 ??? ????r微分方程的解為 2 2 2 20012e ( e e )tttx C C? ? ? ?? ? ? ??? ? ? 其中 和 為兩個(gè)積分常數(shù)， 1C 2C 由運(yùn)動(dòng)起始條件來確定 運(yùn)動(dòng)圖線如圖 不具有振動(dòng)性質(zhì) 例 4－ 7 已知：如圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度系 數(shù)為 kt， 圓盤對(duì)桿軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J， 如圓盤外緣受 到與轉(zhuǎn)動(dòng)速度成正比的切向阻力，而圓盤衰減扭 振的周期為 。 －－ 有阻尼自由振動(dòng)的固有角頻率 220 ??? ??d令 設(shè) t=0， ,0xx ? 0?? ?22 000 220()vxAx ???????002200t anxx????????振動(dòng)的振幅是隨時(shí)間不斷衰減的，稱為 衰減振動(dòng) 。 粘性阻尼 －－當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，由于介質(zhì)粘性引起的阻 力近似地與速度的一次方成正比。 1k2k解： )s in ( 0 ??? ?? tΦ系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)擺桿的最大角速度 Φ0m ax ?? ??系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 220m a x 21 ΦJT ??選擇平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn) 最大勢(shì)能為 222212221m a x )(21)(21)(21 Φdklkd ΦklΦkV ????即 22221220 )(2121 ΦdklkΦJ ???解得固有頻率 Jdklk 22210???由機(jī)械能守恒定律有 m axm ax VT ?例 4－ 6 求：圓柱體在平衡位置附近作微小振動(dòng)的固有頻率。 4－ 2 計(jì)算固有頻率的能量法 若選平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，有 PxxkV ???? ])[(21 2st2st ??Pk ?st?)(s i n2121 0222 ?? ??? tkAkxV 對(duì)于有重力影響的彈性系統(tǒng)，如果以平 衡位置為零勢(shì)能位置，則重力勢(shì)能與彈性力 勢(shì)能之和，相當(dāng)于由平衡位置處計(jì)算變形的 單獨(dú)彈性力的勢(shì)能。輪 I連一鉛 直彈簧，輪 II掛一重物，塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量皆 為 J， 彈簧剛度系數(shù)為 k， 重物質(zhì)量為 m。 擺對(duì)軸 O 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J， 彈簧剛度系數(shù)為 k。 傾角 ??30?求：此系統(tǒng)振動(dòng)的固有頻率和振幅并給出物塊的運(yùn)動(dòng)方程。 這個(gè)結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧并聯(lián)的情形。 振動(dòng)系統(tǒng)包括：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)、多自由度系統(tǒng)和連續(xù)體等。 學(xué)習(xí)目的：利用有益的振動(dòng)，減少有害的振動(dòng)。 Tf1?由式 mk?20?mk?0?只與表征系統(tǒng)本身特性的質(zhì)量 m和剛度 k有關(guān) 而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān) 它是振動(dòng)系統(tǒng)固有的特性 所以稱為 固有角（圓）頻率（一般也稱固有頻率） 0?m=P/g st/kP??0stg???mk?0?（ 2）振幅與初相角 A表示相對(duì)于振動(dòng)中心點(diǎn) O的最大位移 －－ 振幅 －－ 相位（或相位角） )(0 ?? ?t表示質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí) t 的位置 而 θ 表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的起始位置－－ 初相角 設(shè) t= 0 時(shí)， 0xx ? 0?? ?)c o s (dd 00 ???? ??? tAtx)s in ( 0 ?? ?? tAx)s in ( 0 ?? ?? tAx000202020 t an ????? xxA ??? （ 1）彈簧并聯(lián) st11 ?kF ? st22 ?kF ?在平衡時(shí)有 st2121 )( ?kkFFmg ????令 eqk－－ 等效彈簧剛度系數(shù) steq ?kmg ?21eq kkk ??eqst / kmg??固有頻率 mkkmk 21eq0???? 當(dāng)兩個(gè)彈簧并聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)等于兩個(gè) 彈簧剛度系數(shù)的和。 當(dāng)物塊下落高度 h=，撞于無質(zhì)量的彈簧上， 并與彈簧不再分離，彈簧剛度系數(shù) k=。 解： 此無重彈性梁相當(dāng)于一彈簧 ,其靜撓度相當(dāng)于彈簧的靜伸長(zhǎng) 則梁的剛度系數(shù)為 st?mgk ?取其平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn) ,x軸方向鉛直向下 運(yùn)動(dòng)微分方程為 kxxkmgt xm ????? )(dd st22?設(shè) mk?20? 0dd 2022?? xt x ?)s in ( 0 ?? ?? tAx固有頻率 r a d / s70st0 ??? ??gmk在初瞬時(shí) t=0， 物塊位于未變形的梁上 其坐標(biāo) mm2st0 ???? ?x 重物初速度 00 ??則振幅為 22 00 202vAx ?? ? ? mm初相角 000πa r c t a n a r c t a n ( )2xv?? ? ? ? ? ? ?最后得系統(tǒng)的自由振動(dòng)規(guī)律為 mm)70c os (2 tx ??例 4－ 3 已知：圖為一擺振系統(tǒng)，桿重不計(jì)球質(zhì)量為 m。 解： 擺于水平平衡處， 彈簧已有壓縮量 0?由平衡方程 0)( ??iO FM ?dkm g l 0??以平衡位置為原點(diǎn)， 擺繞軸 O的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為 ddkm gltJ ???? )(dd 022????? 222dd kdtJ ??Jkd?0?例 4－ 4 已知：如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相嚙合的齒輪半徑 皆為 R， 半徑為 r的鼓輪上繞有細(xì)繩。 22 )(21221rxJxmT ?? ???系統(tǒng)的勢(shì)能為 221 kxV ?不計(jì)摩擦， 由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 ????? 2222 2121 kxxrJxmVT ?? 常數(shù) 系統(tǒng)動(dòng)能為 上式兩端對(duì)時(shí)間取一階導(dǎo)數(shù)，得 0)2( 2 ??? xkxxxr Jm ????0)2( 2 ??? kxxr Jm ??－－自由振動(dòng)微分方程 系統(tǒng)的固有頻率為 Jmrkr2220 ???如圖所示無阻尼振動(dòng)系統(tǒng) 當(dāng)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 )s i n ( 0 ?? ?? tAx速度為 00c o s ( )xv A tt ? ? ?? ? ?dd在瞬時(shí) t 物塊的動(dòng)能為 2 2 2 20011 c o s ( )22T m v m A t? ? ?? ? ?167。系統(tǒng)在水平位置處于平衡。 4－ 3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 阻尼 －－振動(dòng)過程中的阻力。 在振動(dòng)過程中作用在物塊上的力有 （ 1）恢復(fù)力 eF? kxF ??e（ 2）粘性阻尼力 dF?txccFx ddd ???? ?物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為 txckxtxmdddd22???令 mk?20? mc2??－－ 固有角（圓）頻率 0? －－ 阻尼系數(shù) ?0dd2dd 2022??? xtxtx ??－－ 有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解可