[理學(xué)]概率第四章課件-wenkub.com
2025-01-16 14:49 本頁面
【正文】 , )X Y U a b c d例 1 設(shè) ( , ) .C ov X Y，求 . 解 . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 0? 協(xié)方差的大小在一定程度上反映了 X和 Y相互間的關(guān)系，但它還受 X與 Y本身度量單位的影響 . 例如： Cov(aX, aY)=a2Cov(X,Y) 為了克服這一缺點(diǎn)，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了 相關(guān)系數(shù) . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 二 、相關(guān)系數(shù) 為隨機(jī)變量 X 和 Y 的相關(guān)系數(shù) . 定義 1 設(shè) (X,Y)為二維隨機(jī)變量 , 若 DX0, ( , )XYC o v X YD X D Y? ??DY0,則稱 定義 2 當(dāng) 時， 稱 X 與 Y不線性相關(guān)， 0XY? ?簡稱不相關(guān) . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： 1 . | | 1XY? ?2 . 1XY? ?存在常數(shù) a,b(b≠0） ， 使得 P{Y= a + b X}=1. 3. X和 Y獨(dú)立時， =0， 但其逆不真 . XY?221 2 1 2( , ) ~ ( , , , , )X Y N ? ? ? ? ? ，則 ? 0XY? ??XY???（ 1） （ 2） X Y與 相互獨(dú)立 X Y與 不相關(guān) . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 1( ) 0 2 , 0 2( , ) 80,x y x yf x y?? ? ? ? ??? ???，其 他( , )E X x f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ?? 2200 1() 8d x x x y d y???? 76?2222001()8E X d x x x y d y????53?2 2 25 7 1 1( ) ( )3 6 3 6D X E X E X? ? ? ? ?( , )XY例 2 設(shè) 的密度函數(shù)為 .XY?求 解 所以 ， . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) ( , )XY1( ) 0 2 , 0 2( , ) 80,x y x yf x y?? ? ? ? ??? ???，其 他.XY?7 ,6E Y E X?? 11 ,36D Y D X??220014( ) ( ) ,83E X Y d x x y x y d y? ? ???( , ) 1 .11XYC o v X YD X D Y? ? ? ??例 2 設(shè) 的密度函數(shù)為 求 解 由密度函數(shù)的對稱性可以看出 ， . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 定義 1 設(shè) X是隨機(jī)變量， k為正整數(shù)，若 kEX存在，則稱它為 X的 k階原點(diǎn)矩 ，記為 () kE X E X?存在，稱它為 X的 k階中心矩，記為 可見，均值 EX是 X一階原點(diǎn)矩，方差 DX是 X 的二階中心矩。( 1 )iDX p p??12() nDX D X X X? ? ? ?12 nDX DX DX? ? ? ?( 1 )n p p??npq?例 6 設(shè)隨機(jī)變量 ~ ( , )X B n p 分布，求 12 nX X X X? ? ? ? ， 解 已知 12, , , nX X X其中 相互獨(dú)立且服從相同的 01分布 .又知 ，于是得 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) ( 1 , 2 , , )in?其中 1qp?? 。 3. 若隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立，則 D(X177。解 的概率密度為X ????? ????其它01)(bxaabxf。 解 0 ( 1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ?2 2 20 ( 1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ?由公式 2 2 2) ( 1 )D X E X E X p p p p? ? ? ? ? ?（因此 , ( 1 ) =E X p D X p p p q? ? ?隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 設(shè)隨機(jī)變量 分布， ~ ( 1 , )X B p其中 。 是隨機(jī) 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 例如 ,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊 10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖： 你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢 ? 甲炮射擊結(jié)果 乙炮射擊結(jié)果 乙炮 因為乙炮的彈著點(diǎn)較集中在中心附近 。 2 , 0 1 ,()0,Xxxfx ?????? 其 他 ,( 5 ) , 5 ,() 0,yYeyfx ??? ?? ?? 其 他 ,1 ( 5 )05 2yE X Y E X E Y x x d x y e d y?? ??? ? ? ? ? ???5 5 5522 6433ye ye d y e e?? ??? ? ? ??隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì) ,XY例 7 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度分別為 獨(dú)立，求 。 3. E(X+Y) = EX+EY。 解 由定理 2得 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì) . 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì) 2 , 0 2 , 0( , ) 20,xxy x yf x y?? ? ? ??? ???，其 他 ，( , )E X Y x yf x y d x d y?? ???? ??? ?? 2 2002xd x
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