【正文】 ，特征矢量為 u ≠ o。則： 223 2 2 3( ) ( )( ) ( )???????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?A u uA u A A u A u uA u A A u A u u3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]I I I I I I? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A u A A u A A u A I u A A A u∵ A的特征方程 0)()()( 32213 ???? AAA III ???∴ 3 2 3 21 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]() I I I I I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A u A A u A A u A I u A A A A A A I uF A u o又 ∵ u≠0 ∴ OAF ?)(iii） ∵ )()]([])[()()()(1 cbacAbacbAacbaAA??????????????I)()]()[()]([)(])[()()(2 cbacAbAacAbaAcbAaAA?????????????????I取 jiijA iiAicibia ???? , 321 則： 1 1 2 2 3 3。ij i j i i ij i j i i ij i j i iA A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A a i i i i A b i i i i A c i i i i1)( ??? cba∴ 1 1 2 3 2 3 2 31 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 1 1 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )i i i i i i i iI A A AA A A A A A tr? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A i i i i i i i i ii i i i i i i i i A2 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 3 2 2 3 111 22 1 2 3 21 12 2 1 3 22 33 1 2 3 32 23 1 3 211 22 11 33( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1( 2 2 22i i j j i i j j i i j ji j i j i j i j i j i jI A A A A A AA A A A A AA A A A A A A AA A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?A i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i22 33 12 21 31 13 32 23211 22 33 11 11 22 22 33 33 12 21 31 13 32 232 2 2 21) ( 2 2 2 )21[ ( ) 2 2 2 ) ]21 1 1[ ( ) ] [ ( ) * : ] [ ( ) ]2 2 2ij jiA A A A A A A AA A A A A A A A A A A A A A At r A A t r t r t r? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A A A A A A將 I1(A) 、 I2(A)代入（ ）式得： 3 2 2 2 31( ) [ ( ) ] ( )2tr tr tr I? ? ? ? ?A A A A A A A I O兩邊取跡得： 3 2 2 231( ) ( ) [ ( ) ] 3 ( ) 02tr tr tr tr tr tr I? ? ? ? ?A A A A A A A∴ 3 3 23 1 1 1( ) ( ) ( )3 6 2I A tr tr tr tr? ? ?A A A A一、對稱二階張量自變量標(biāo)量值各向同性函數(shù) 定理： 自變量是二階對稱張量 A的標(biāo)量值函數(shù) F (A)是各向 同性的。當(dāng)且僅當(dāng) F (A)可表示為 A的不變量 I1(A)， I2(A)， I3(A)的函數(shù)： 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F I I I?A A A A （ ） 證： 設(shè) A的特征值為 λ λ2 、 λ3，對應(yīng)的特征矢量為 r r r3。則由譜表示定理（ ）式： 333222111 rrrrrrA ??? ???（如果有相等的特征值時，總存在三個相互正交的三個特 征方向。此時取 r1⊥ r2 ⊥ r3。） ),。,()( 321321 rrrA ???FF ?∵ F (A) 是各向同性函數(shù)。對任意 Q ： 1 2 3 1 2 3( * ) ( ) ( , , 。 , , )F F F ? ? ?? ? ? ?Q A Q A r r r對 A有： 1 1 1 2 2 2 3 3 3。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r21 1 1 2 2 2 3 3 3( * ) 。 ( * ) 。 ( * )x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r Q A Q Q r Q r∴ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( * ) ( , , 。 , , ) ( , , 。 , , )F F F? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?Q A Q Q r Q r Q r r r r由于 Q的任意性?？偞嬖?Q使得： 1 1 2 2 3 3。? ? ? ? ? ?Q r r Q r r Q r r因此若要： ),。,(),。,( 321321321321 rQrQrQrrr ???? ?????? FF等式左邊和等式右邊的 321321 ,。, rQrQrQrrr ???或者說左邊 F只是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)，而與 r r2 、 r3 不是 F的自變量。 無關(guān) 。右邊的 F也只是 λ1,λ2 ,λ3的函數(shù)，而與 321 , rQrQrQ ???無關(guān)。否則若左邊 F是 r r2 、 r3的函數(shù)，右邊是 12,??Q r Q r3?Qr等式的含義是當(dāng)給定 r r2 、 r3和 的函數(shù)。那么等式兩邊的函數(shù)是兩個不同的函數(shù)。此時 321 , rQrQrQ ???的函數(shù)的函數(shù)值相等。因此若要兩邊是同一個函數(shù)，則 F( ，兩個不同 A)只能是 λ λ2 、 λ3的函數(shù)。即： ),()( 321 ???FF ?A又 ∵ λ λ2 、 λ3是方程： 0)()()( 31213 ???? AAA III ???的根。 ∴ 1 1 1 2 32 2 1 2 33 3 1 2 3( ( ) , ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) , ( ) )( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A AA A AA A A1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A另一方面 )(),(),( 321 AAA III 是各向同性函數(shù)（見習(xí)題 ）。當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?時 F(A)是各向同性函數(shù)。因此最后得 F(A)是各向同性函數(shù) 時，當(dāng)且僅當(dāng)： ))(),(),(()( 321 AAAA IIIFF ?應(yīng)當(dāng)注意的是： 1 2 3 1 2 3( ) ( , , ) ( ( ) , ( ) , ( ) )F F F I I I? ? ???A A A A中 F和 F 是同一函數(shù)的不同變量表示。因此 F和 F的函數(shù)形式可能不同。如二元實函數(shù)： 的函數(shù)形 22( , ) 。 3 , 4f x y x x y x s t y t? ? ? ? ?則： 22 2 2 2 2 3( , )( , ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) 9 6 1 2 4f x y x x yf s t s t s t t s s t t s t t??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?證畢。 例 5： 設(shè) A=A*。試證明： AAA :)( ?F是各向同性函數(shù)。 證： ∵ : * : ( )tr? ? ?A A A A A A由（ ）式中第一和第二式有： 2212( ) [ ( ) ] 2 ( )tr tr I I? ? ? ?A A A A A∴ )(2)]([)(221 AAA IIF ??F(A)是各向同性函數(shù)。 證畢。 二、對稱二階張量自變量二階張量值各向同性函數(shù) 引理 1： 若 F(A)是二階對稱張量 A的二階張量值各向同性函 數(shù)。則 F(A)與 A有相同的單位特征矢量。 證： 設(shè) A的單位特征矢量為 r，其對應(yīng)的特征值為 λ。則： rrAAr ?????由 r構(gòu)造二階張量： IrrR ?? 2對任意 u∈ V ： ( ) ( ) [ ( 2 ) ] [ ( 2 ) ]4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?R u R u r r I u r r I ur r r u r u r u r u u u u u因此由 r構(gòu)造的 R是正交二階張量。 當(dāng) F(A)是各向同性函數(shù)時，對任意正交二階張量 Q有： *)()( QAQFQAFQ ?????當(dāng) Q = R時 ： *)(*)( RARFRAFR ?????∵ * ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )[ 2 ( ) ] ( 2 ) 4 ( ) 2 2 ( )4 2 2 ( )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?Q A Q rr I A rr I rr A I A rr Ir r A rr I rr r r rI r A r r A Irr rr r r A A∴ ( ) * ( * ) ( )? ? ? ? ? ?R F A R F R A R F A又 ∵ rRrrR ???? （ a） ∴ ( ) * ( ) 。 ( ) ( )( ) ( ) 。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A R F A F A RR F A r F A R r R F A r F A r（ b） 同理： ( ) * ( ) 。 ( ) ( ) , ( * )( ) ( ) 。 [ ( ) ] ( )? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?R F A R F A F A R R F A R Rr F A R r R F A r F A R r F A（ c） 由（ a）（ b）（ c）可知 r、 F(A) r 、 r F(A)都是二階張量 R的特征矢量。同時 r還是二階對稱張量 A的特征矢量。由 于 r、 F(A) r 、 r F(A) 是同一個矢量方向，因此這三個矢 量相差一個實數(shù)乘積?；蛘哒f r、 F(A) r 、 r F(A) 是具有 相同方向的長度不同的三個矢量。即： F??? ?? 。)( rAFrF??? ?? 。)( rrAF（ d） （ e） 將第一式兩邊右點乘 r，第二式兩邊左點乘 r。兩式相減得： ( ) ( ) ( ) 。 0 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r F A r r F A r r r r r將這一結(jié)論代入（ d），（ e）式得： ( ) 。 ( )??? ? ? ?r F A r F A r r這表明 F(A)所具有的左、右特征矢量 r與 A所具有的左、右 特征矢量 r相同。 證畢。 引理 2： 若 A是二階張量。當(dāng)： i） ii） iii） 時： {I, A, A2}是線性無關(guān)二階張量組； 321 ??? ??321 ??? ??321 ??? ??時： {I, A}是線性無關(guān)二階張量組； 時： {I}是線性無關(guān)二階張量組。 證： i） 若 {I, A, A2}是線性無關(guān)組。由線性無關(guān)定義可知，只 有當(dāng) μ 1=μ2=μ3= 0時： OAAI ??? 2321 ???設(shè) λ λ λ