【正文】 6 2I A tr tr tr tr? ? ?A A A A一、對稱二階張量自變量標(biāo)量值各向同性函數(shù) 定理： 自變量是二階對稱張量 A的標(biāo)量值函數(shù) F (A)是各向 同性的。 ii） 設(shè) A的特征值為 λ，特征矢量為 u ≠ o。 ii） 0)()()( 32213 ???? IAAAAAA III該式也稱為 CayleyHamilton定理。 例 4： 對任意二階張量 A。i i Qf? ? ?f u u i u Q u∴ fQiQuf ???? iiQ f )(由 ： )( uQffQ ???ii） FFQ ? （坐標(biāo)變換不改變標(biāo)量） *))(()( QAQiQiQiiA ??????? jiijQjiijQ AA∴ *)()( QAQA ??? FFiii） ∵ *))(()()( QFQiQiQiiAF ??????? jiijQjiijQ FF*QAQA ???Q∵ ∵ ∴ *)(* QAQFQFQ ?????例 3： 試證明： 1 ()tr?????ε σ σ IEE是各向同性函數(shù)。 例 2： i） ii） iii） )()( uQfufQ ???*)()( QAQA ??? FF*)(*)( QAQFQAFQ ?????其中 u、 A是矢量和二階張量； f、 F、 F是矢量值、標(biāo)量值 和二階張量值函數(shù)。 Φ (Ψ )是各向同性的，則定義： )( ΨΦΦ ?且稱 Φ (Ψ )是 s階張量自變量的 r階張量值各向同性函數(shù)。對任意給定的二階正 交張量 Q。當(dāng) Φ作為 s 階張量 Ψ 自變量的函數(shù)是各向同 性的。如果對 Φ 中線性表示的每一個由 r 個 V 中矢量張量積的項都作用 任意給定的正交二階張量 Q ，而 Φ不發(fā)生變化。因此本節(jié)中不討論張量的不連續(xù)性的問題。而本章的 所有分析總是假定張量函數(shù) F ( A )在自變量的定義域的每 一點都連續(xù)的。那么 F ( A ) 的 A0 點是連續(xù)函數(shù)。 對張量函數(shù) F ( A )，若（ ）式成立，則該式也可寫成 極限的形式： 0 0l im ( ) ( )AA? ?F A F A（ ） 這一表達式中： rrrr iiiiiiii AA iiAiiA ?? ?? 1111 )( 00 ???表示： 11 01( ) ( , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA A i i??在 V 中的坐標(biāo)系 {o。若對任意給定的正數(shù) ε ，總存在著 一個正數(shù) δ 。正是距 數(shù)的連續(xù)性定義。該定義是通過兩個絕對值 | x x0 |、 | f (x) – f (x0) | 確定了 f (x) 在 x0 點的連續(xù)性。若對任意給定的正數(shù) ε， 總存在著一個正數(shù) δ 。 二、張量函數(shù)的連續(xù)性 為了引入張量函數(shù)的連續(xù)性，首先回顧一元實函數(shù)的連續(xù) 性定義。即： ()( ) :? ? ?? ? ? ?p p n σ np σ n σ n（ c）第三章例 23給出的： Iσσε )(1 trEE ?? ???式中應(yīng)變二階張量 ε =ε (σ )是應(yīng)力二階張量的函數(shù)。顯然物體受力是確定的 ，而對 同一位置矢量標(biāo)定的點， σ 是不變的常二階張量。對確定的受力物體，同一點不 同截面上的應(yīng)力可由該截面的外法線矢量和應(yīng)力張量表示 。函數(shù)可寫為： xaxf ??)(（ b）對任意位置矢量 x所標(biāo)定的物體中的點。函數(shù)可寫為： xax ??)(f而對同一個 a及變矢量 x： kjiijk xae ixa ??式中 f ( )取為法則 a ( ) 。那么 f (x ) = a 則： ii xa?? xa式中 f ( )取為法則 a 例 1： 張量函數(shù)例子。 5． r=2， s=2時： Φ記為 A； F記為 F。則： )(: AA FF ? （ ） F (A)稱為二階張量自變量的零階張量值函數(shù)?；蚍Q f (u)是 矢量自變量的矢量值函數(shù)?；蚍Q f (u)是 矢量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。 2． r=1， s=0時： Φ記為 u； F記為 f。則： )(: xfxf ? （ ） f (x)稱為零階張量自變量的零階張量值函數(shù)。張量函數(shù)的自變 量取值的開集 ( 或閉集 ) Φ ∈ P ? Pr 的 P 稱為張量函數(shù)的 定義域；張量函數(shù) F(Φ )的所有定義域中 Φ 的取值集合（ s 階張量集合）稱為張量函數(shù)的值域。 i1, i2, i3}基底構(gòu)成的 r 階和 s 階張 量空間。 i1, i2, i3}是 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正 交坐標(biāo)系。? ? ?A A A A P⊙Pd ???? BABABA ,。由（ ）式可引入張量的 模和兩張量之間的距離。 ( ,), rP? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?A B C A B A C A B C A B A ABCC⊙ ⊙ ⊙（ ） iii）正定性： , 0 , 0 。 ( , , 1 , 2 , 3 )rri i i i rA B i i? ? ? ? ?A B A B⊙ （ ） 容易證明 ??, 具有下列性質(zhì)： i）對稱性： , , 。 設(shè) P是 Pr張量空間的開集。而滿足（ ）的所有 A構(gòu)成 Pr的一個子集合，且 稱這一子集合為 Pr的一個閉集（若等號不成立則稱為開集） 。, 111 ?riiii iirr ??? ??使得： )3,2,1,(。且對任意 r 階張 量 A∈ Pr ，有： )3,2,1,(。 i1, i2, i3}是 V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交 坐標(biāo)系。 張量函數(shù) 設(shè) V是三維 Euclid矢量空。但這些代數(shù)運算所構(gòu)成的張量 空間的代數(shù)結(jié)構(gòu)仍無法對張量空間點列的收斂性、張量空 間與張量空間的映射及映射的連續(xù)性等進行描述。第四章 張量函數(shù)和張量分析 在前面三章中主要對集合的代數(shù)結(jié)構(gòu)進行了討論，并由多 重線性映射引入了張量空間。而第三章中對張量空間的各 元素（張量）間的各種代數(shù)運算（加法、數(shù)乘、張量積、 點積等）作了詳盡的分析。本章的 主要內(nèi)容旨在解決上述問題。 {o。設(shè) Pr是由 V張成的 r 階張量空間。 111 ?? riiii iiA rr ??? iiA如果對任意的 A∈ Pr，存在二組實數(shù)： )3,2,1,(。 1111 ??? riiiiii iiA rrr ???? ?? （ ） 那么 )3,2,1,( 11 ?rii iiA r ??的滿足（ ）的每一組 3 r個取值確定 一個 A。記為 P。按第一章第四節(jié)的標(biāo)量積可以 定義 A,B∈ P的標(biāo)量積： 11 1, 。 , , rP? ? ? ? ? ? ?A B B A A A AB BB⊙ ⊙（ ） ii）線性性： , , , 。 0 , 0? ? ? ? ? ? ? ?A A A A A A⊙（ ） 對任意 Pr中的張量 A, B∈ P 。其定義如下： 12|| || ( ) 。||||),(（ ） （ ） 一、張量函數(shù) 設(shè) V是三維 Euclid 矢量空間， {o。 Pr、 Ps是由 {o。若存在映射 F 使得： )(: ΦFΦF ? （ ） F(Φ )是 r階張量自變量的 s階張量值函數(shù)。 當(dāng) r≤2, s≤2時有： 1． r=0, s=0時： Φ 記為 x； F記為 f。 f (x)就是一元 實函數(shù)。則： )(: uu ff ? （ ） F (u)稱為一階張量自變量的零階張量值函數(shù)。 3． r=1， s=1時： Φ記為 u， F記為 f，則： )(: ufuf ? （ ） F (u)稱為一階張量自變量的一階張量值函數(shù)。 4． r=2， s=0時： Φ記為 A； F記為 F?；蚍Q F (A)是 二階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)。則： )(: AFAF ? （ ） F(A)稱為二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。 （ a）設(shè)矢量 a是 V中任意給定的矢量； x是 V中的矢量。 ( ) 。 ( x )是矢量自變量 的標(biāo)量值函數(shù)。那么 f (x ) = a ( x )是矢量自變 量的矢量值函數(shù)。該點的應(yīng)力 狀態(tài)可由應(yīng)力張量 σ 表示。且： nσp ??式中 n是截面的單位外法線； σ是二階應(yīng)力張量； p是外法 線為 n截面上的應(yīng)力矢量 。因此 p n的函數(shù)（不同截面上的應(yīng)力矢量不同）。 即是二階張量自變量的二階張量值函數(shù)。設(shè)一元實函數(shù)為 f (x) 。使得當(dāng)所有 x滿足： ??? || 0xx時，對應(yīng)的函數(shù)都有： ??? |)()(| 0xfxf則稱 f (x)在 x0點連續(xù)。由實函數(shù)理論 | x x0 |和 | f (x) – f (x0) |按距離的概念分別代表了實數(shù) x和 x0 離概念的引入使得一元實函數(shù)的連續(xù)性可以推廣到張量函 的距離及給定的 x和 x0的函數(shù)值 f (x)和 f (x0)的距離。 設(shè)張量函數(shù)為 F (A) 。使得當(dāng)所有的自變量張量 A 滿足： ??? |||| 0AA時，對應(yīng)的張量函數(shù)都有： 0|| ( ) ( ) || ???F A F A （ ） 則稱 F( A ) 在 A0 點連續(xù)。 i1, i2, i3}下，張量函數(shù) F ( A )可表示為： ss iiiiF iiAAF ?? 11 )()( ?將這一表示形式代入（ ）式得： 1 1 1 10 0 011 00l i m ( ) l i m [ ( ) ] l i m ( )( ) ( )s s s sssi i i i i i i iA A A A A Ai i i iFFF? ? ???????????F A A i i A i iA i i F A這表明張量函數(shù) F ( A ) 的每一個分量函數(shù)（分量函數(shù)本身 是 r 階張量自變量的標(biāo)量值函數(shù)） )3,2,1,(),( 11 ?sii iiAF s ??在 A0 點是連續(xù)函數(shù)。 關(guān)于張量函數(shù)連續(xù)性的更深入的理論分析主要是針對函數(shù) 在 A0 是否連續(xù)以及在 A0 點不連續(xù)時的性質(zhì)等。即認為張量函數(shù)都是自變量張量的連續(xù)函 數(shù)。 各向同性張量函數(shù) 對 Φ∈ Pr ,作為 r 個 V 中矢量的張量積的線性表示。則稱 Φ是 各向同性的 。則稱 Φ 是各向同性張量函數(shù)。記： )()( 11 rr iiiiQ iQiQΦ ??? ??? （ ） 那么 Φ是各向同性的，則： QΦΦ?若 Φ是 Ψ 張量函數(shù)。 簡稱 Φ (Ψ )是各向同性張量函數(shù)。 證： i） ( ) ( ) 。 證： ∵ 1* * ( t r ) *1* ( t r ) *1* ( t r )EEEEEE???????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?Q ε σ σ I σ Q σ Q I σ Q σ I∴ )( σεε ?( ) ( * )1* t r ( * )1* [ t r ( * )1* ( t r )QEEEEEE??????? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ?ε σ ε Q σ σ σ QIQ σ Q σ Q Q IQ σ Q σ I是各向同性張量函數(shù)。試證明： i） IAAAAAAAF )()()()( 32213 III ????是各向同性張量函數(shù)。 （ ） iii） 12223 2 33()1( ) [ ( ) ( ) ]21 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 2 3I t rI t r t rI t r t r t r t r???? ? ?AAA A AA A A A A（ ） 證： i） ∵ IAQAQAQAQAQAIQAQAQAQAQAQAFQ)(*)(*)()(*)(*)(*)(*)()(*)(*3221332213IIIIII????????????????????????321 2 31 2 3321 2 3( ) ( * ) ( ) ( * ) ( ) * ( )* * * ( ) * * ( ) * ( )* ( ) * ( ) * ( )Q I I II I II I I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F A Q A Q A Q A Q A Q A Q A I