【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 3對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r1, r2, r3。則： ???????????????????orAAIorAAIorAAI323212232112321)()()(?????????（ f） ∵ 1 1 1 2 2 2 3 3 3。? ? ?? ? ? ? ? ?A r r A r r A r r221 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 3 3 3( ) ( ) ( )( ) 。 ( )????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?A r A A r A r rA r r A r r∴ 將 2 ( 1 , 2 , 3 )ii i? ? ?A r A r、 ； 代入（ f）式得： ????????????????0)(0)(0)(323231322221321211???????????????（ g） 這是關(guān)于 μ μ μ3的齊次線性代數(shù)方程組。其系數(shù)行列 式： 2112 2 2 2 2 22 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 22333 2 2 3 1 3 1 2 1 1 3 2 2 3 1 1 3 13 2 3 1 2 11 ( )1 ( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( )1 ( )( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( ) ( )??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?∵ ∴ 321 ??? ?? 0??。 方程組（ g）的解為： 0321 ??? ???這表明 {I, A, A2}是線性無(wú)關(guān)組。 ii） {I, A}是線性無(wú)關(guān)組。則當(dāng) μ1 = μ2 = 0 時(shí)： OAI ?? 21 ??取 321 , ??? ? 對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r1, r2。則： ?????????orAIorAI221121)()(???????????00221211?????? （ h） 。 121211? ???? ? ? ?∵ ∴ 12??? 0??。 12 0????方程（ h）的解為： 這表明 {I, A}是線性無(wú)關(guān)組。 iii） 取 321 ??? ?? 對(duì)應(yīng)的特征矢量為 r。顯然有： orI ???∵ 。 ∴ or? 0??這表明 {I}是線性無(wú)關(guān)組。 證畢。 定理： 二階對(duì)稱張量自變量的二階張量值函數(shù) F(A)是各向 同性的。當(dāng)且僅當(dāng)： i） 321 ??? ?? 時(shí)： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ??? （ ） ii） 321 ??? ?? 時(shí)： AAIAAF )()()( 10 ?? ?? （ ） iii） 321 ??? ?? 時(shí)： IAAF )()( 0?? （ ） 其中 λ λ λ3是 A的特征值； 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、稱張量自變量主不變量的標(biāo)量值函數(shù)。 是二階對(duì) 證： 當(dāng) F(A)表示為（ ）的形式時(shí)： ∵ 20 1 222( ) ( ) * ( ) * ( ) * 。 ** * * * ( * )? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A Q I Q A Q A Q A Q A Q Q I Q IQ A Q Q A I A Q Q A Q Q A Q Q A Q∴ 20 1 220 1 2( ) * ( ) ( ) * ( ) ( * )( ) ( * ) ( * ) * ( * ) ( * )? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Q F A Q A I A Q A Q A Q A QF Q A Q Q A Q I Q A Q Q A Q Q A Q Q A Q是 A的主不變量 0 1 2( ) ( ) ( )? ? ?A A A、 、 1 2 3( ) ( ) ( )I I IA A A、 、 的函數(shù)。即： 0 0 1 2 31 1 1 2 32 2 1 2 3( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )( ) ( ( ) , ( ) , ( ) )I I II I II I I?????????A A A AA A A AA A A A由習(xí)題 ： 1 2 31 2 3( * ) ( ( * ) , ( * ) , ( * ) )( ( ) , ( ) , ( ) ) 。 1 , 2 , 3iiiI I II I I i???? ? ? ? ? ? ? ? ???Q A Q Q A Q Q A Q Q A QA A A∴ 2210 *))((*)()(*)( QAQAQAQAIAQAQF ????????? ???顯然有： *)(*)( QAQFQAFQ ?????這表明當(dāng) F(A)表示為（ ）式形式時(shí)是各向同性函數(shù)。 同理可得 F(A)表示為（ ）和（ ）式形式時(shí)是各 向同性函數(shù)。 若 F(A)是各向性函數(shù)； A是對(duì)稱二階張量。當(dāng) A的特征值 321 ??? ?? 時(shí)，由引理 1可知 F(A)與 A有相同的特征矢量 r1, r2 , r3。且： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3。 ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?A r r r r r r F A r r r r r r由引理 2可知 {I, A, A2}是線性無(wú)關(guān)組。因此： 333222111 rrrrrr ??? ??作為由 A的特征矢量 r1,r2,r3張量積構(gòu)成的二階張量可由線性 無(wú)關(guān)的二張量組 {I, A, A2}線性表示。即： 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?F A r r r r r r A I A A A A A該式即為（ ）式。同理可得（ ）和（ ）式。 證畢。 例 6： 試求二階對(duì)稱張量自變量的各向同性二階張量值線性函數(shù)。 表達(dá)式 解： ∵ F(A)是各向同性張量函數(shù)。由（ ）式： 2210 )()()()( AAAAIAAF ??? ???若 F(A)是線性張量函數(shù)。則： 21( ) 0 。 ( )? ? ???AA是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)，將用 A的主不變量表示為： )(0 A?))(),(),(()( 32100 AAAA III?? ?由（ ）式得： 2300( ) ( , , )tr tr tr?? ?A A A A是 A的線性標(biāo)量值函數(shù)只可能取為： )(0 A?0 () tr???AA∴ F(A)是線性各向同性二階張量值函數(shù)。則： ( ) ( ) 。t r F? ? ? ?? ? ?F A A I A 、（ ） 例 7： 設(shè) A是四階各向同性張量； 11 1 1 22 2 2 33 3 3 。 m tr? ? ? ?? ? ? ?σ i i i i i i σ若 σ m≠ 0 ，且： 0:: ??? ?σAσf 2。 ( ) : : ( ) 0mm? ? ?? ? ? ?σ IA σ I試求 f = 0 的 σ 分量表達(dá)式。 解： ∵ 2 2 2( ) : : ( ) : : : : : : : :m m m m m? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?σ IA σ I σ A σ σ A I I A σ I A I∴ : 。 : 。 : : 0? ? ?A I O I A O I A I又 ∵ A是各向同性四階張量由（ ）式得： lkjijkiljlikklij iiiiA )]([ ???????? ???∴ : [ ( ) ] : ( ) [ ( ) ]3 2 ( 3 2 ) 3 2 0i j k l i k j l i l j k i j k l m m i j m m i m j m i m j m i ji j i j i j i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?A I i i i i i i i ii i i i I O容易驗(yàn)證當(dāng) 3λ+2μ =0時(shí)： : 。 : : 0??I A O I A I因此四階張量 A可表示為： lkjijkiljkikklij iiiiA )](32[21 ??????? ???11 1 1 22 2 2 32 2 211 1 1 1 1 22 2 2 2 2 33 3 3 3 311 22 33 11 1 11: : {( ) : [ 2 3 ( ) ] } :21{ [ 2 3 ( ) ] [ 2 3 ( ) ] [ 2 3 ( ) ] } :2[ ( ) 3 (ij k l ik jl il jk i j k lk l l k l k k l k l l k l k k l k l l k l k k l? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?σ A σ i i i i i i i i i i σi i i i i i σI i i2 2 222 2 2 33 3 3 11 22 33 11 22 332 2 2 2 2 2 211 22 33 11 22 33 11 22 22 33 33 11 11 22 332 2 211 22 22 33 33 11) ] : [ ( ) : 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ][ ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) ] [ 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ][ ( ) 2 ( ) ( ) ]? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?i i i i σ I σ最后得： 2 2 2 2 211 22 22 33 33 11: : [ ( ) ( ) ( ) ] 0f ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?σ A σ或： ???????? 2211332112222211 ])()()( ?????? 張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分 在一元實(shí)函數(shù)分析中，實(shí)函數(shù) f (x)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)極限： )()()(l i m 0 xfx xfxxfx ????? ???定義。如果這個(gè)極限存在，則稱 f(x)在 x點(diǎn)可導(dǎo)。且記極限 值為 )(xf ?數(shù)時(shí)，由于張量函數(shù)的自變量是張量，且張量的除法是沒(méi) 有意義的。因此對(duì)張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不能采用上述極限的形 式。另一方面在一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義中，自變量的改變 只有兩種變化趨勢(shì)。即 Δx0和 Δx0 , 而對(duì)張量函數(shù)，即 使對(duì)自變量是矢量的情況 , 自變量 Δu的改變量可以是任意 方向的改變。因此在張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義中必須能夠反映 所有自變量改變（包括增加、減少和方向的不同）的情況 。為此將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義形式等價(jià)地變成為： 。當(dāng)將一元實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念推廣到一般張量函 )()()()( xOxxfxfxxf ??? ?????式中 O(Δx )表示 Δx的高階小量，當(dāng) Δx趨于零時(shí) O(Δx )趨 于零。這一表達(dá)式中函數(shù)的變化量可看作是兩部分。一部 分是 Δx的線性部分，另一部分是 Δx的高階小量部分（非 非線性部分）。同時(shí)按這種形式定義的導(dǎo)數(shù)不需要進(jìn)行除 法運(yùn)算。正是這一特點(diǎn)，張量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以看作是一元 實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的這一形式定義的推廣。 商法則： 設(shè) Φ∈ Ps,Ψ ∈ Pr。若 Ψ (Φ)是 r 階張量自變量的 S 階張量值線性函數(shù)。則存在唯一的 Ω∈ Ps+r ，使得： ( ) ( ) 。 ( ) ( )rr????Ψ Φ Ω Φ Ψ Φ Φ Ω（ ） 證：（僅給出左點(diǎn)乘證明） ∵ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )s r s s s s s s r srr