[理學(xué)]席第09講隨機(jī)變量數(shù)字特征(編輯修改稿)
2025-01-04 00:51 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 （ 1） 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 (X, Y)的聯(lián)合分布律為 ?,2,1.),( ???? jiyYxXPp jiij?jiijji pyxg,),( 絕對收斂，則 Z的數(shù)學(xué) 若 期望存在，而且有 ),()]([)(,???jiijji pyxgX , YgEZE （ 2） 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (X, Y)的聯(lián)合密度為 f (x, y), Z= g(X,Y)也是連續(xù)型隨機(jī)變量 絕對收斂，則 Z 的數(shù)學(xué)期望存在，而且有 若 ),(),( ?? ?????? d x d yyxfyxg ),(),()],([)E( ?? ? ??? ???? dxdyyxfyxgYXgEZ四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 1. 設(shè) C是常數(shù)，則 E(C)=C。 2. 若 k是常數(shù)，則 E(kX)=kE(X)。 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2)。 一般地， 隨機(jī) 變量線性組合的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性組合，即 )...( 2211 nn XaXaXaE ???).(...)()( 2211 nn XEaXEaXEa ???= 4. 設(shè) X、 Y獨(dú)立，則 E(XY)=E(X)E(Y)。 ?????niinii XEXE11)(][推廣：設(shè) X1， … ， Xn獨(dú)立 , 則有 注意 :由 E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出 X,Y獨(dú)立 (5) 若隨機(jī)變量只取非負(fù)值，即 X ? 0, 又 E(X)存在，則 E(X)? 0. 推論：若 X ? Y, E(X)， E(Y)都存在，則 E(X) ? E(Y) 特別地，若 a ? X ? b，且 a， b為常數(shù)，則 E(X)存在，且 a ? E(X) ? b 五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用 Example 14 設(shè)一批同類型的產(chǎn)品共有 N件 ， 其中次品有 M 件 。 今從中任取 n(假定 n ? NM)件 ， 記這n件中所含的次品數(shù)為 X， 求 E(X ) 答案 : NnMXE ?)(Example 15 設(shè) X 的概率密度為 其中 a, b為常數(shù)，且 E（ X） =3/5。求 a, b 的值。 ??? ????其它010)(2 xbxaxf答案 : 56,53 ?? ba 一個實(shí)際例子 . 例 16： 某水果商店，冬季每周購進(jìn)一批蘋果。已知該店一周蘋果銷售量 X(單位 :kg)服從 U[1000,2022]。購進(jìn)的蘋果在一周內(nèi)售出， 1kg獲純利 ；一周內(nèi)沒售出，1kg需付耗損、儲藏等費(fèi)用 。問一周應(yīng)購進(jìn)多少千克蘋果，商店才能獲得最大的平均利潤。 (答案 : 一周應(yīng)購進(jìn) 1833千克蘋果 ) 下面我們再給出數(shù)學(xué)期望應(yīng)用的另一個例子 . 教材第 113頁的 例 5 請看 （抽驗(yàn) N個人的血的兩種方法） 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征 . 但是在一些場合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的 . 學(xué)習(xí)方差的原因如下 : 例如，某零件的真實(shí)長度為 a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量 10次，將測量結(jié)果 X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖： 若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？ a?? ? ? ?? ??? ?乙儀器測量結(jié)果 a? ? ? ?? ? ?? ??甲儀器測量結(jié)果 較好 測量結(jié)果的均值都是 a 因?yàn)橐覂x器的測量結(jié)果集中在均值附近 又如 ,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊 10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖： 你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢 ? 甲炮射擊結(jié)果 乙炮射擊結(jié)果 乙炮 因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 . ???????? ?
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