【文章內(nèi)容簡介】 另外 ， 切比雪夫不等式 只利用數(shù)學(xué)期望和方差 對隨機(jī)變量 X的概率分布進(jìn)行估計 ， 在理論研究 和實際應(yīng)用中很有價值 . 例 9 設(shè) X~N(?, ?2), 根據(jù)切比雪夫不等式 ， 有 ? ?? ? 21{| | 3 } 0 .1 1 193DXPX ???? ? ? ? ?而根據(jù) “ 3?”原則 ， 有 { | | 3 } 0 . 0 0 3PX ??? ? ?比較而言 ， 切比雪夫不等式給出的估計精度不高 . 推論： 若 D(X)=0， 則 X以概率為 1地等于它的 數(shù)學(xué)期望 E(X). 證： P{X＝ EX}=1 即： 由假設(shè) D(X)=0， 故對任意的 n (n=1, 2, ...) ? ? ? ?? ?211{ | | } 0nDXP X E Xn? ? ? ?? ? ? ?11{ | | 0 } { | | }nX E X X E X n??? ? ? ? ?又因為 所以 ? ? ? ?11{ | | 0 } { | | }nP X E X P X E Xn????? ? ? ? ?????? ?11{ | | }nP X E X n??? ? ??所以 0?? ?{}P X E X?? ? ?{ | | 0 }P X E X??? ?1 { | | 0 }P X E X? ? ? ?1 0 1? ? ?例 10 已知正常男性成人血液中，每一毫升血液中白細(xì)胞數(shù)平均是 7300，均方差是 700 . 利用切比雪夫不等式估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率 . 解： 設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為 X 依題意， E(X)=7300, D(X)=7002 所求為 P{5200 ? X ? 9400} 2()1( 2 1 0 0 )DX??由切比雪夫不等式 P{ |X?E(X)| ? 2100} 27001 ( )2100??18199? ? ?即估計每毫升白細(xì)胞數(shù)在 5200~9400之間的概率不小于 8/9 . P{5200 ?X?9400} = P{5200?7300 ? X?7300 ? 9400?7300} = P{?2100 ? X?EX ? 2100} = P{ | X?EX| ? 2100} 例 11 在每次試驗中，事件 A發(fā)生的概率為 , 利用切比雪夫不等式求： n需要多大時，才能使得在 n次獨立重復(fù)試驗中 , 事件 A出現(xiàn)的頻率在~ ? 解 ：設(shè) X為 n 次試驗中事件 A出現(xiàn)的次數(shù)， EX=, 的最小的 n . 0 .7 4 0 .7 6 0 .9 0XP n??? ? ?????則 X~B(n, ) 所求為滿足 DX=?= =P{?X? } 2()1( 0 .0 1 )DXn?? = P{ | X?EX| } 20 .1 8 7 510 .0 0 0 1nn??18751n?? P{ X } 0 .7 4 0 .7 6XPn????????0 .7 4 0 .7 6XPn????????可改寫為 在切比雪夫不等式中取 n，則 0 .0 1? ? = P{|X?EX| } 1875 187501 0 .9n ???解得 依題意，取 18751 0 .9n?? 即 n 取 18750時，可以使得在 n次獨立重復(fù) 試驗中 , 事件 A出現(xiàn)的頻率在 ~ 概率至少為 . 隨機(jī)變量的 “ 標(biāo)準(zhǔn)化 ” 在理論研究和實際工作中 ， 為了方便計算和簡化 證明 ， 往往對隨機(jī)變量進(jìn)行所謂的 “ 標(biāo)準(zhǔn)化 ” 。 設(shè)隨機(jī)變量的期望 E(X)和方差 D(X)都存在 ， 稱 ? ?? ?X E XXDX? ??為 X的 標(biāo)準(zhǔn)化 隨機(jī)變量 . ? ? ? ?? ?E X E XEXDX? ?????? ? ? ? ?? ?0E X E XDX???????? ? ? ?? ?X E XD X DDX????????? ? ?? ?21 D X E XDX?????? ??????? ? ? ?21 1DXDX????????即 標(biāo)準(zhǔn)化 隨機(jī)變量 X? 的期望為 0， 方差為 1. 五 中位數(shù) 定義 設(shè)連續(xù)型 X的分布函數(shù)為 F(x)， 則滿足 P{X?m}= F(m)= 的數(shù) m稱為 X的 中位數(shù) . 12由于連續(xù)型 X取一個值的概率為 0， P{X?m}= P{Xm}= P{Xm}= P{X?m}= 因此有 12也就是說 ， 中位數(shù) m這個點把 X的分布從概率上 分為兩半 ， 在 m左邊占一半 ， 在 m右邊占一半 ， m正好居于中央 . 在實際應(yīng)用 中 ,特別是社會統(tǒng)計資料中 ， 使用 中位數(shù)很多 ， 有時它比數(shù)學(xué)期望更能說明問題 。 和數(shù)學(xué)期望相比 ， 中位數(shù)受個別特大值和特小 值影響很小；而且中位數(shù)總存在 ， 數(shù)學(xué)期望不 一定存在 ， 即使存在也不一定好求 。 (2)中位數(shù)可以不唯一 . 但是中位數(shù)也有以下缺點 ： (1)數(shù)學(xué)期望具有很多優(yōu)良的性質(zhì) ， 而中位數(shù)不具有 . 例如 E(X1+X2)= E(X1)+E(X2) 而 X1+X2的中位數(shù)與 X1和 X2的中位數(shù)沒有簡單的聯(lián)系 . a b c d 如圖 如果密度函數(shù)只在 且在這兩個區(qū)間上的面積都是 兩個分開的區(qū)間上不為 0， , 則區(qū)間 [b, c] 中任何一點都是中位數(shù) . 例 12 正態(tài)分布 X~N(?, ?2)的中位數(shù)就是 ? 指數(shù)分布的中位數(shù) m就是方程 F(m)= F(m)=1?e??m= 即 m ln2??167。 矩 數(shù)學(xué)期望和方差可以納入到一個更一般的概念范疇之中 , 那就是隨機(jī)變量的 矩 . 設(shè) X為一個隨機(jī)變量 , k為自然數(shù) , 如果 E(Xk)存在 , 則稱 E(Xk)為 X的 k 階原點矩 , 記為 ?k ()kk EX? ?即 [ ( ) ]kE X E X? 存在 , 則稱 [ ( ) ]kE X E X?如果 為 X 的 k階中心矩 , 記為 ?k [ ( ) ]kk E X E X? ??即 定義 . . 顯然 , (一階原點矩就是數(shù)學(xué)期望 ) ?0=1 ?1= EX ?0=1 ?1= 0 ?2= DX (二階中心矩就是方差 ) 當(dāng) X 為離散型隨機(jī)變量時 , 設(shè)其概率分布律為 ? ? , ( 1 , 2 , )iiP X x p i? ? ?, ( )kkk i i k i iiix p v x E X p? ? ? ???則 若 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 , 其概率密度為 f(x), 則 ( ) , ( ) ( )kkkk x f x dx v x EX f x dx? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ???例 1 設(shè) X~N(?, ?2)， 則 X的 k階中心矩為 ( ) ( )kkv x f x dx????????? ? 2221()2xkx e dx??????????????222ykky e d y???? ???? ?令 xy ????當(dāng) k為奇數(shù)時 ， 被積函數(shù)為奇函數(shù) ， 故 0kv ?當(dāng) k為偶數(shù)時 ， 令 y2=2z, 則 22022ykkk y e d y????? ?? ?112202 2 kkkz z e d z???????? ?21122kk k???????????? ? ? ?1 3 1k kk?? ? ? ???( k?2 ) 此題用到 ? 函數(shù) ?(x)= 10txe t d t?? ???(x0) ? 函數(shù)具有以下性質(zhì)： ?(x+1)= x?(x) ?(1)= 1 ?(n)=(n?1)! 212ue d u ??? ?????? ? ????? ?? ? ? ?122 4 3 1 22nnnn ?????? ? ? ? ??? ? ? ?????(n為奇數(shù) ) (| | )kEX( | | )kE X E X?X 的 k階絕對原點矩： X 的 k階絕對中心矩： 此外 ， 還有以下各種矩： X和 Y的 k+l 階混合原點矩： ( ) ( , 1 , 2 , )klE X Y k l ?X和 Y的 k+l 階混合中心矩： ? ?[ ] [ ]klE X E X Y E Y?? ( , 1 , 2 , )kl ?167。 多維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征 一 多維隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望和方差 設(shè) (X, Y)為二維隨機(jī)變量 ， 稱 (EX, EY )為 (X, Y) 稱 (DX, DY)為 (X, Y) 的 方差 . 的 數(shù)學(xué)期望 , 設(shè) (X1, X2, ... , Xn)為 n維隨機(jī)變量 , 稱 (EX1, EX2,... , EXn)為其數(shù)學(xué)期望 , (DX1, DX2,... , DXn)為其方差 . 設(shè) (X, Y)為二維隨機(jī)變量 ， 則 Z=g(X, Y ) 仍是一個 隨機(jī)變量 . 對于 n維隨機(jī)變量 ， 除了關(guān)心每個分量的情況 ， 還需要知道各個分量之間的相互關(guān)系 。 (g是連續(xù)函數(shù) ) 二 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 設(shè) (X, Y)為二維隨機(jī)變量 ， Z=g(X, Y ) 當(dāng) (X, Y)是離散型時，設(shè) (X, Y)的 聯(lián)合概率函數(shù)為 { , } ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?? ? [ ( , ) ] ( , ) ( , )E Z E g X Y g x y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ??? ??則 當(dāng) (X, Y)是連續(xù)型時，設(shè) (X, Y)的 聯(lián)合密度為 f(x,y) 則 ? ? [ ( , ) ] ( , )i j i jijE Z E g X Y g x y p?? ??（ 上面的結(jié)論可以推廣到 n元函數(shù)的情形 ） 此定理說明 ， 不需要計算 Z的分布 ， 就可以求其期望 . 例 1 已知 (X, Y)的聯(lián)合分布律為 求：（ 1） E(2X+3Y) (2 ) E(XY) Y X 0 1 0 1 131201616561323 （ 3） (X,Y)的數(shù)學(xué)期望 ( 2 3 ) ( 2 3 )i j i jijE X Y x y p? ? ???解 ： (1) 由數(shù)學(xué)期望定義 1( 2 0 3 0 ) ( 2 0 3 1 ) 03? ? ? ? ? ? ? ? ? ?116?11( 2 1 3 0 ) ( 2 1 3 1 )26? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )i j i jijE X Y x y p? ??（ 2） 120133? ? ? ?（ 3） 23?()EX510166? ? ? ?16?()EY21( , )36所以 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 1 1 1( 0 0 ) ( 0 1 ) 0 ( 1 0 ) ( 1 1 )3 2 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?16? 設(shè) (X ,Y) 的密度為： 2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y??? ?? 其 它1 0 , 0 , 0x y x y? ? ? ? ?x y 0 1 1 D 1yx??( , )E X E Y其中 D是由直線 ： 圍成的三角形區(qū)域 求 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望 例 2 11 200 24xdx x y dy?? ??1 2 3 4012 ( 2 )x x x dx? ? ??( , )x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??1120024xx dx y dy?? ??1 22024 ( 1 )2 x x d x???2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y ????? 其 它25?解 ： ()EXx y 0 1 1 D 1yx?? 2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y ????? 其 它( ) ( ,