【正文】 hand side may be made arbitrarily small by a suitable choice of a, and thus the desired formula (17) is proved. Since is an even function of u, the above equation may also be written in the formOn the other hand, is an odd function of u。 Series of the Fundamental follows from the considerations of 167。 Legk=squeeze(Leg(1,:,:))。x39。 Uout=1./Rout。[Q,R]=cart2pol(X,Z)。new_freq=ifftshift(filt_im)。 if or(abs(iM/2)=D0,abs(iM/2)=D1), filt(i,j)=1。F:\39。,39。x1=50:1/10:50。y=zeros(1,N+1)。,39。附錄程序：傅里葉系數(shù)計(jì)算：syms x H k tao Tint(H*exp(1i*2*k*pi/T*x)/T,x,tao/2,tao/2)繪制圖像：H=1。事實(shí)上，正是由于傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、FFT所具有的這個(gè)物理意義才使得其在頻譜分析中得到廣泛應(yīng)用。我們?cè)谝阎芰亢徒莿?dòng)量的共同本征函數(shù)的前提下，將入射波，如形式的平面波，展開(kāi)為以能量和角動(dòng)量的共同本征函數(shù)為基的廣義傅里葉級(jí)數(shù)③將前幾級(jí)次的球面波用命令surf()做出圖像，（作圖程序見(jiàn)附錄） 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖 球面波分量圖⑤（卷I），：科學(xué)出版社，③，：高等教育出版社，從圖中我們可以清晰的看到各級(jí)球面波的對(duì)稱性，以及各分量的大小，幅值隨級(jí)次增大的變化趨勢(shì)等。我們就用勒讓德函數(shù)的母函數(shù)③展開(kāi)為勒讓德級(jí)數(shù)的例子來(lái)看看廣義傅里葉級(jí)數(shù)在MatLab中的可視化：：勒讓德函數(shù)的母函數(shù)展開(kāi)為勒讓德級(jí)數(shù)形式。通過(guò)對(duì)整個(gè)處理過(guò)程的了解我們可以看出，圖像做FFT是為了使得本來(lái)交織在一起的原圖像信號(hào)與干擾信號(hào)在一定程度上剝離開(kāi)，從而可以更容易的對(duì)圖像進(jìn)行處理，去除干擾信號(hào)。下面我們用一個(gè)更形象具體，更貼近實(shí)際的例子。設(shè)原始信號(hào)為，伴隨有兩倍的均值為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差為1的服從正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲。事實(shí)上這也很自然的為FFT的實(shí)際應(yīng)用提供了一個(gè)線索。FFT主體分為按時(shí)間抽樣FFT算法和按頻率抽樣FFT算法④兩種，但二者殊途同歸，最終都是通過(guò)不斷地迭代進(jìn)行蝶形運(yùn)算④從而達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算量的目的。其形式為 （311） 其中，是單位根。眾所周知，這些數(shù)學(xué)物理方程是從許多實(shí)際的問(wèn)題中提煉出來(lái)的，因此解決這些數(shù)理方程本身就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的處理，只要將方程中相應(yīng)的參數(shù)對(duì)應(yīng)于實(shí)際問(wèn)題中的參量，就可以解決實(shí)際問(wèn)題了。用MatLab中的stem()函數(shù)做出基波及各級(jí)諧波振幅的直觀圖像，這里令H=1，T=2，圖像如下（計(jì)算、作圖程序見(jiàn)附錄） 方波的傅里葉級(jí)數(shù)譜 方波脈沖的傅里葉變換譜從圖中可以清晰地看出基波及各級(jí)諧波的振幅對(duì)比，振幅隨級(jí)次的衰減、變化的趨勢(shì)一目了然。以2l為周期的任意周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)形式為： （211） 若滿足狄里克雷充分條件，即：（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)，（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于。傅里葉在求解熱傳導(dǎo)方程時(shí)產(chǎn)生的，隨后傅里葉變換、離散傅里葉變換（DFT）應(yīng)運(yùn)而生，并不斷的發(fā)展為一整套傅里葉分析理論體系。12附錄9五、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的意義3三、DFT、FFT的可視化及應(yīng)用論文編碼： 首都師范大學(xué)本科學(xué)生畢業(yè)論文傅里葉變換的可視化及應(yīng)用研究 作 者： 吳曉龍 院 系： 物理系 專 業(yè)： 物理學(xué)（師范） 學(xué) 號(hào)： 1070600080 指導(dǎo)教師： 郭懷明 日 期： 2011年5月9日 中文提要 傅里葉變換是由實(shí)空間向頻譜空間的變換。1二、傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換的可視化及應(yīng)用傅里葉變換的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)6四、廣義傅里葉級(jí)數(shù)的可視化及應(yīng)用8 廣義傅里葉級(jí)數(shù)的Matlab可視化實(shí)現(xiàn)18英文原文傅里葉分析在很多方面都有應(yīng)用，但直到快速傅里葉變換（FFT）的誕生才把傅里葉分析推向了高潮。亦可寫(xiě)為復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)： （212）①， of Mathematical Physics（Volume I），Wiley，1989，4950 傅里葉變換 對(duì)定義在上的非周期函數(shù)，在傅里葉級(jí)數(shù)形式中令半周期可得傅里葉積分公式形式，且若滿足條件：（1）在任意有限區(qū)間內(nèi)滿足狄里克雷條件，（2）在上絕對(duì)可積，則的傅里葉積分收斂于。我們還可以做一些拓展，來(lái)看看傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換之間存在的微妙聯(lián)系。為了更直觀的體會(huì)傅里葉級(jí)數(shù)法解微分方程中的應(yīng)用，我們用一個(gè)一維振動(dòng)問(wèn)題為例來(lái)看一下：：一維振動(dòng)方程定解問(wèn)題：③ 從物理實(shí)際上看，這個(gè)方程可以對(duì)應(yīng)為一個(gè)受迫振動(dòng)問(wèn)題，方程右側(cè)實(shí)際上就是振動(dòng)源的振動(dòng)形式。第一式即為DFT，第二式稱為離散傅里葉逆變換（IDFT）。對(duì)于N個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的變換，F(xiàn)FT使復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算量從次減少到，大大降低了運(yùn)算量。 FFT的實(shí)際應(yīng)用我們知道，在實(shí)際生活中，很多問(wèn)題我們得不到連續(xù)的函數(shù)形式，更得不到漂亮的解析式，因此也無(wú)從運(yùn)用連續(xù)傅里葉變換來(lái)處理問(wèn)題，而此時(shí)FFT的優(yōu)勢(shì)便顯現(xiàn)出來(lái)了，我們只需要得到等間隔取樣的一些數(shù)據(jù)點(diǎn)，就可以完成對(duì)數(shù)據(jù)的變換。 夾雜隨機(jī)噪聲的原始信號(hào) 原始信號(hào)的FFT頻譜這樣的問(wèn)題多出現(xiàn)在信號(hào)接收和光譜分析中。我們平時(shí)看電視時(shí)，有時(shí)電視不清楚時(shí)會(huì)在屏幕上出現(xiàn)波浪條紋，下面我們就看看FFT如何幫助我們處理處理圖像上夾雜的波浪條紋：：用FFT輔助處理夾雜周期條紋的圖像。當(dāng)然，F(xiàn)FT在其他很多方面都應(yīng)用廣泛。勒讓德函數(shù)的母函數(shù)公式為 將母函數(shù)與其勒讓德級(jí)數(shù)形式用mesh()函數(shù)分別作圖如下，其中勒讓德級(jí)數(shù)取到級(jí)次（作圖程序見(jiàn)附錄） 勒讓德函數(shù)的母函數(shù)圖象 勒讓德級(jí)數(shù)取至的圖像從圖像對(duì)比中可以看出級(jí)數(shù)形式與母函數(shù)相一致，只是在r=1附近有些不同，這是由于對(duì)級(jí)數(shù)截?cái)嘀猎斐傻?，隨截?cái)嗉?jí)次的增大，級(jí)數(shù)圖像將與母函數(shù)圖象越來(lái)越一致。同樣的，我們將波函數(shù)也做相同的級(jí)數(shù)展開(kāi)，寫(xiě)為其中在時(shí)就是。而另一方面，我們從傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換、FFT、廣義傅里葉級(jí)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例子中可以明顯地看到它們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)的思路無(wú)外乎以下兩點(diǎn)：（1）將復(fù)雜的問(wèn)題分解為若干簡(jiǎn)單的問(wèn)題求解（2）將糾纏的問(wèn)題通過(guò)變換分離開(kāi)來(lái)如果我們拋開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)法、傅里葉變換本身，而僅從這兩點(diǎn)出發(fā)，我們便可以看到傅里葉級(jí)數(shù)法、傅里葉變換的更深層次的意義。T=2。MarkerFaceColor39。for k=1:N+1。y1=abs(sin(tao*x1/2)./x1/pi)/pi。LineWidth39。)。 end。new_im=ifft2(new_freq,M,N)。R(R==1)=NaN。 for l=1:20 Leg=legendre(l,cos(Q))。)axis([0 3 0 2 0 10])：⑥ [X,Z]=meshgrid(5::5)。 Bes=sqrtR.*besselj(k,R)。1 and from the orthogonality of the trigonometric functions that the best approximation in the mean of degree n is obtained by the socalled Fourier polynoialWith （15） The polynomial may also be written in the more concise form （15’） Is virtue of the relation . It is not a priori certain that these polynomials, which yield the best approximation in the mean, also yield a uniform approximation to the function—. it is not certain that the inginite series converges uniformly and represents the function f(x). This question is the central problem of the theory of Fourier series. For the sake of convenience we shall suppose that the function f(x) is initially defined only in the interval ,and the continued periodically beyond this interval by the functional equation . Furthermore, at each jump discontinuity, we requier f(x) to be equal to the arithmetic mean of the “righthand” and “l(fā)efthand”limits, and (h0), respectively。 therefore2. Extension of the Result to Several Variables. By repeated application of formula (16) analogous formulas are obtain for piecewise smooth functions of several variables。此外，在每個(gè)階躍間斷點(diǎn)上，我們要求函數(shù)值等于其左右極限的算術(shù)平均值，即和(h0)的平均值；也就是說(shuō)可以寫(xiě)成。系數(shù)與有關(guān)系， ，如果我們令和我們有隨n的增大，收斂于0而和函數(shù)一致收斂于g(x)。于是在本節(jié)開(kāi)始所給出的定理已經(jīng)完全得證。：如果一個(gè)周期函數(shù)f(x)是連續(xù)的并有直到(h1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其h階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)，那么如果f(x)的傅里葉展開(kāi)是，則在時(shí)系數(shù)可以有以下估計(jì)，其中c為一常數(shù)。 這個(gè)方法基于無(wú)窮級(jí)數(shù)的一個(gè)非常重要的變換公式，即著名的泊松求和公式。 如果我們令，可以得到現(xiàn)在讓，于是，我們發(fā)現(xiàn)很可能得到公式（16） 只要證明可以這樣取極限就可以了。：通過(guò)重復(fù)使用公式（16）就可以得到對(duì)于分段光滑多變量函數(shù)的相似的公式；這些公式在函數(shù)連續(xù)時(shí)適用。（17）當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)化為當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)化為：定義偶函數(shù)f(x)為 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)我們可以用傅里葉積分將其表示為右側(cè)的形式稱為“狄立克雷間斷因子”