【正文】 sing to the limit , we obtainThe righthand side may be made arbitrarily small by a suitable choice of a, and thus the desired formula (17) is proved. Since is an even function of u, the above equation may also be written in the formOn the other hand, is an odd function of u。 therefore2. Extension of the Result to Several Variables. By repeated application of formula (16) analogous formulas are obtain for piecewise smooth functions of several variables。 these formulas are valid wherever the functions are continuous. Thus，under the assumption that the integrals and exist. In grneral, for n variables, we haveunder analogous assumptions. The integrations are to be performed in the order in which the differentials are written in this formula.3. Reciprocity Formulas. The Fourier integral theorem (16) takes on an especially elegant form if one sets，for, it then states that the equations，F(xiàn)ollow from each other. If the lefthand sides are assumed to be known, these equations form a pair of socalled integral equations each of which is the solution of the other and which are mtually reciptocal. For even and odd functions we have the sets of real equations，and，.respectively. The corresponding reciprocity formulas for functions of several variable areand are certainly valid if f and g have derivatives up to the (n+1)st order in the entire space.167。7. Examples of Fourier Integrals1. The Fourier integral formula (17)reduces toif f(x) is an even function, and to if f(x) is odd.2. We now cinsider Dirichlet’s discontinuous factor: Let the even function f(x) be defined by 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)we may express it as the Fourier integralThe term on the right, called “Dirichlet’s discontinuous factor”, is useful in many problems.3. If, for x0, we take we have eitheror；The former is obtained if, for negative values of x, f(x) is continued as an even function, the latter if it is continued as an odd funtion. In the second case we must put f(0)=0. The intgral is sometimes called the Laplace integral.4. The functionProvides a particularly instructive example. In this case, the mutually reciprocal integral equationsandare actually identical.中文譯文167。1. 基本定理的證明：由167。1的討論和三角函數(shù)的正交性可以得到，最好的n級平均近似是由所謂的傅里葉多項式獲得的：，其中 （15） 多項式也可以被寫成更簡明的形式： （15’） 這里用到了關(guān)系式。 這些多項式給出了最好的平均近似，但并不不能斷言它們也給出了函數(shù)的一致近似——也就是說不能斷定無窮級數(shù)一致收斂于f(x)。這個問題是傅里葉級數(shù)理論的中心值問題。 為方便起見，我們將假設(shè)函數(shù)f(x)最初只定義在區(qū)間上，然后利用函數(shù)方程周期延拓到這區(qū)間之外。此外，在每個階躍間斷點上，我們要求函數(shù)值等于其左右極限的算術(shù)平均值，即和(h0)的平均值；也就是說可以寫成。 于是可以有以下定理：任何在區(qū)間上分段光滑，并以為周期的函數(shù)可被展開為傅里葉級數(shù)；這就是說，傅里葉多項式隨n的增大收斂于f(x)。進一步我們將證明：在函數(shù)為連續(xù)的任意閉區(qū)間內(nèi)，傅里葉級數(shù)的收斂是一致的。 我們將首先對f(x)為連續(xù)而間斷點只出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)f’(x)的情況給出證明。如果f’(x)的展開系數(shù)用和來表示，我們有，由于f’(x)是分段光滑的，我們有完備性關(guān)系。因此這就立刻建立了絕對并且一致收斂的無窮級數(shù)由于三角函數(shù)的完備性，這就代表f(x)。 為了證明傅里葉級數(shù)展開對間斷但分段光滑的函數(shù)也適用，我們開始考慮如下一類特殊的函數(shù)，它由以下式子定義， ， ，這個函數(shù)在點處有大小為的階躍。它的傅里葉展開系數(shù)為 ， 如果傅里葉展開對分段連續(xù)的函數(shù)適用，我們有，為了檢驗這個等式，我們首先構(gòu)造連續(xù)并分段光滑的函數(shù)，由上面的討論，這個函數(shù)的傅里葉級數(shù)一致收斂于g(x)。系數(shù)與有關(guān)系， ，如果我們令和我們有隨n的增大，收斂于0而和函數(shù)一致收斂于g(x)。也就是說在區(qū)間上也一致收斂于g(x)，因此自身也在任何一個不包含點x=0的閉子區(qū)間內(nèi)一致收斂于h(x)。 在除去x=0的其他點上，所有部分和為零，故。因此，在間斷點上級數(shù)的值也等于h(x)的值，即左右極限和的算術(shù)平均值。 由于函數(shù)h(x)在x=0處有的階躍，函數(shù)在處有的階躍并在其他基本區(qū)間內(nèi)連續(xù)。現(xiàn)在，如果f(x)是一個分段連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間的點有階躍，那么是一個處處連續(xù)的函數(shù)，并和f(x)一樣，具有分段連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。因此，F(xiàn)(x)可以被展開為絕對且一致收斂的傅里葉級數(shù)。但是函數(shù)也可以被展開為傅里葉級數(shù)，且在不包含間斷點的任意區(qū)間內(nèi)一致收斂。于是在本節(jié)開始所給出的定理已經(jīng)完全得證。：三角函數(shù)可以用于構(gòu)建比“立方”更高維的空間正交函數(shù)組。為簡單起見我們僅考慮“平面”情形（二維）。但不管怎樣，我們的討論對任意維數(shù)都是適用的。 函數(shù)組 ， ， ， 在方形區(qū)域，上構(gòu)成正交組。展開規(guī)則可以用最簡單的復(fù)指數(shù)形式寫出。如果F(s,t)可以被展開為一致收斂的雙重傅里葉級數(shù)，則級數(shù)為其中 函數(shù)組的完備性，是因為完備性關(guān)系可以由單變量完備函數(shù)組構(gòu)造多元完備函數(shù)組的一般定理得出。 進一步，如果存在且分段連續(xù)（見第一小節(jié)），則F(s,t)的傅里葉級數(shù)一致且絕對收斂。：如果一個周期函數(shù)f(x)是連續(xù)的并有直到(h1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其h階導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)，那么如果f(x)的傅里葉展開是，則在時系數(shù)可以有以下估計，其中c為一常數(shù)。因此，寒暑越光滑，級數(shù)的展開系數(shù)就越快的趨于零。 上述關(guān)系可以通過對系數(shù)表達(dá)式（15’）做h次分部積分而馬上得到。：如果函數(shù)f(x)是以2l為周期的周期函數(shù)，它可以被展開為級數(shù)其中，也可以被寫為，5..例子：傅里葉級數(shù)理論運用的簡單例子讀者可以參看初等書籍。這里我們將利用傅里葉級數(shù)展開導(dǎo)出Theta函數(shù)的函數(shù)方程和泊松的一般公式 Theta函數(shù) 的函數(shù)方程為為了證明這個關(guān)系，我們設(shè)；是以1為周期的y的周期函數(shù)，且具有對y的各階導(dǎo)數(shù)，因此可以展開為傅里葉級數(shù)，其中由于積分和求和符號對所有可以對調(diào)，我們得出系數(shù)： ；因為沿平行于實軸的直線與沿實軸有相同的值。（如果對函數(shù)在以為頂點的矩形內(nèi)運用柯西定理，并進一步使T趨于無窮小，則沿矩形兩側(cè)豎直方向上的積分收斂于零；這是因為積分一致的收斂于零而積分路線長度為常數(shù)。）因此我們有特殊地，當(dāng)y=0時， 這里傅里葉展開被運用到一種特殊情形的無窮級數(shù)變換。這個方法在最近用來處理一些出現(xiàn)在數(shù)論中的解析函數(shù)時，被證明是有效的。 這個方法基于無窮級數(shù)的一個非常重要的變換公式，即著名的泊松求和公式。設(shè)是一無窮級數(shù)，其中為一連續(xù)且連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，而級數(shù)和對區(qū)間上的所有t絕對且一致收斂。于是第二個級數(shù)是第一個級數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而第一個級數(shù)在區(qū)間上可以被展開為收斂的傅里葉級數(shù)： 最后一式中對于n的求和可以變換為以下形式： 因此最后，如果我們讓t=0，可以得到這就是泊松公式。顯然，如果公式中出現(xiàn)的所有積分都存在，而對t在區(qū)間上一致收斂，并且這個級數(shù)代表的函數(shù)可被展開為傅里葉級數(shù)，那么泊松公式就是適用的。167。：考慮定義在區(qū)間上，由傅里葉級數(shù)表示的函數(shù)f(x)，看起來我們希望l趨于，以使我們不在需要周期地延拓f；因此有可能獲得一個定義在全部實數(shù)域x上的非周期函數(shù)的表達(dá)式。我們將依然假設(shè)f(x)在任意有限區(qū)間內(nèi)是分段光滑的，并且在間斷點函數(shù)值是其左右極限的算術(shù)平均值。此外，我們增加一條假設(shè)，假設(shè)積分存在。 如果我們令，可以得到現(xiàn)在讓，于是，我們發(fā)現(xiàn)很可能得到公式（16） 只要證明可以這樣取極限就可以了。對于實函數(shù)f(x)這也可以被寫成以下形式（17） 直接通過對方程（16）和（17）進行驗證以獲得對這“傅里葉積分公式”的適用性的嚴(yán)格證明比之對取極限過程的合理性的判斷要來得容易。 我們從積分公式出發(fā)，其中a為任意正數(shù)。這個公式適用于任何分段光滑的函數(shù)，這是狄立克雷所證明的。由這個公式可以得到： 我們說對t的積分可以擴張為從到。因為，如果Aa，我們有根據(jù)假設(shè)，存在，可得 如果我們保持v固定不變并讓A趨于無窮大，可得再取極限，我們得到選擇適當(dāng)?shù)腶可使右側(cè)變得任意小，因此我們希望得到的公式（17）就被證明了。 由于是u的偶函數(shù)，上面的式子又可寫為另一方面，是u的奇函數(shù)；所以只要積分是收斂的。有前一式減去最后一式我們就得到公式（16），它在f(x)為連續(xù)時適用。：通過重復(fù)使用公式（16）就可以得到對于分段光滑多變量函數(shù)的相似的公式；這些公式在函數(shù)連續(xù)時適用。即，當(dāng)假設(shè)積分和存在時。一般的，對于n個變量我們有在類似的假設(shè)下。公式中積分的次序由所寫的微分符號所確定。：如果我們令，則傅里葉積分公式（16）將變?yōu)橐粋€相當(dāng)漂亮的形式；因為它將表明方程，二者互逆。如果假設(shè)方程的左側(cè)是已知的，這些方程就成為所謂的積分方程，其中任一個是另一個的解并且二者互逆。對于偶函數(shù)和奇函數(shù)我們依次有如下實數(shù)方程組，和，. 對多變量函數(shù)，相應(yīng)的互逆公式為當(dāng)然是在f和g在全空間有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)時適用。167。（17）當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時化為當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時化為：定義偶函數(shù)f(x)為 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)我們可以用傅里葉積分將其表示為右側(cè)的形式稱為“狄立克雷間斷因子”，在很多問題中是很有用的。0，我們?nèi)? 我們會有或；當(dāng)x為負(fù)數(shù)時，按偶函數(shù)延拓f(x)就得到前一式，按奇函數(shù)延拓就得到后一式。在第二種情況下我們必須令f(0)=0。積分 有時又叫做拉普拉斯積分。提供了一個非常有啟發(fā)性的例子。在這情形下，互逆積分方程和實際上是完全相同的。